Differentiate.
f(x)=\left(x^{3}+2 x\right) e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x) = \bigl(x^{3} + 2x\bigr)e^{x}.
O conteúdo principal é a regra do produto de funções e a derivada da exponencial.

Passo 2

Vamos identificar as partes para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x) = x^{3} + 2x \quad\text{e}\quad v(x) = e^{x}.
A regra do produto diz que
\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator.
A derivada de u(x) é
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3} + 2x\bigr) = 3x^{2} + 2.
A derivada de v(x) é
v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) = e^{x}.

Passo 4

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = (3x^{2} + 2)\,e^{x} + (x^{3} + 2x)\,e^{x}.

Passo 5

Fatoramos e^{x} em evidência e somamos os termos do polinômio:
f'(x) = e^{x}\bigl(3x^{2} + 2 + x^{3} + 2x\bigr) = e^{x}\bigl(x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2\bigr).

Resposta

f'(x) = e^{x}\bigl(x^{3} + 3x^{2} + 2x + 2\bigr).

Exercícios relacionados