Differentiate the function.
H(x)=\left(x+x^{-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
H(x)=\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{3}.
O conteúdo aplicado aqui é a regra da cadeia junto com a regra do poder: se H(x)=[u(x)]^3, então
H'(x)=3\,[u(x)]^{2}\,u'(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x+x^{-1}.
Para calcular u'(x), usamos que \frac{d}{dx}(x)=1 e \frac{d}{dx}(x^{-1})=-1\cdot x^{-2}. Logo,
u'(x)=1 - x^{-2}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em
H(x)=[u(x)]^3,
temos
H'(x)=3\,[u(x)]^{2}\;u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x), obtemos
H'(x)=3\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

Passo 4

Se quisermos, podemos reescrever 1 - x^{-2}=\tfrac{x^2-1}{x^2}, deixando
H'(x) =3\,\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\,\frac{x^2-1}{x^2}.
Essa é uma forma simplificada em termos de frações.

Resposta

H'(x)=3\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

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