(Caso geral da Desigualdade Triangular) Sejam
números reais não-nulos, com
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar a versão geral da desigualdade triangular para
reais não nulos
, ou seja,
Vamos usar o princípio da indução em
, apoiados na desigualdade triangular usual para dois termos.
Passo 2
(Base da indução)
Para a desigualdade é
Para
que é trivialmente verdadeira. Para
ela é exatamente a desigualdade triangular clássica:
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que, para algum , já vale
Suponha que, para algum
Passo 4
(Passo indutivo)
Queremos provar a desigualdade para termos. Observe que
Queremos provar a desigualdade para
Pela desigualdade triangular de dois termos,
Usando a hipótese de indução em
, segue
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Pelo princípio da indução, a desigualdade
vale para todo
.