(Caso geral da Desigualdade Triangular) Sejam a_{1}, \ldots, a_{n} números reais não-nulos, com n \in \mathbb{N}. Mostre que
\left|a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right| \leq\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots+\left|a_{n}\right|

Passo 1

O enunciado pede para provar a versão geral da desigualdade triangular para n reais não nulos a_{1},\dots,a_{n}, ou seja,
\Bigl|a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}\Bigr| \;\le\; |a_{1}| + |a_{2}| + \cdots + |a_{n}|.
Vamos usar o princípio da indução em n, apoiados na desigualdade triangular usual para dois termos.

Passo 2

(Base da indução)
Para n=1 a desigualdade é
|a_{1}| \le |a_{1}|
que é trivialmente verdadeira. Para n=2 ela é exatamente a desigualdade triangular clássica:
|a_{1}+a_{2}|\le |a_{1}|+|a_{2}|.

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que, para algum k\ge2, já vale
\Bigl|a_{1} + \cdots + a_{k}\Bigr| \;\le\; |a_{1}| + \cdots + |a_{k}|.

Passo 4

(Passo indutivo)
Queremos provar a desigualdade para k+1 termos. Observe que
a_{1} + \cdots + a_{k+1} =\bigl(a_{1} + \cdots + a_{k}\bigr)+a_{k+1}.
Pela desigualdade triangular de dois termos,
\Bigl|\bigl(a_{1} + \cdots + a_{k}\bigr)+a_{k+1}\Bigr| \;\le\; \Bigl|a_{1} + \cdots + a_{k}\Bigr| \;+\; |a_{k+1}|.
Usando a hipótese de indução em \bigl|a_{1} + \cdots + a_{k}\bigr|, segue
\Bigl|a_{1} + \cdots + a_{k+1}\Bigr| \;\le\; \bigl(|a_{1}| + \cdots + |a_{k}|\bigr) + |a_{k+1}| \;=\; |a_{1}| + \cdots + |a_{k}| + |a_{k+1}|.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Pelo princípio da indução, a desigualdade
\Bigl|a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}\Bigr| \;\le\; |a_{1}| + |a_{2}| + \cdots + |a_{n}|
vale para todo n\in\mathbb{N}.

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