I. (a) How is the number e defined?
(b) Use a calculator to estimate the values of the limits
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2.7^{h}-1}{h} \quad \text { and } \quad \lim _{h \rightarrow 0} \frac{2.8^{h}-1}{h}
correct to two decimal places. What can you conclude about the value of e ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. No item (a), temos que dar a definição do número e. No item (b), usar uma calculadora para estimar, com duas casas decimais, os limites
\lim_{h\to0}\frac{2.7^{h}-1}{h} \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0}\frac{2.8^{h}-1}{h},
e concluir algo sobre o valor de e. Vamos usar conceitos de limite e a propriedade da função exponencial.

Passo 2

Uma definição clássica de e é por meio do limite
e = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.
Alternativamente, e é a única base a>0 tal que
\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=1,
ou seja, a função a^{x} tem derivada igual a 1 em x=0.

Passo 3

Para calcular numericamente
\lim_{h\to0}(a^{h}-1)/h usamos o fato de que esse limite vale \ln(a). Assim:
\lim_{h\to0}\frac{2.7^{h}-1}{h} = \ln(2.7)\approx0,99,
\lim_{h\to0}\frac{2.8^{h}-1}{h} = \ln(2.8)\approx1,03.
Aqui usamos a calculadora para avaliar \ln(2.7) e \ln(2.8) e arredondar para duas casas decimais.

Passo 4

Como a base a que faz
\lim_{h\to0}(a^{h}-1)/h=1
é exatamente a=e, e vimos que para a=2.7 o limite é menor que 1 e para a=2.8 é maior que 1, concluímos que
e
está entre 2.7 e 2.8. Aproximando melhor, e\approx2,72.

Resposta

(a) e = \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}.
(b) \lim_{h\to0}\frac{2.7^{h}-1}{h}\approx0,99 e \lim_{h\to0}\frac{2.8^{h}-1}{h}\approx1,03; logo e\approx2,72.

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