Em difusão de A em B estagnado, se \mathrm{y}_{\mathrm{A} 2} diminui mantendo-se os demais parâmetros constantes, o fluxo:
a) Diminui
b) Permanece constante
c) Aumenta
d) Inverte o sentido

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece com o fluxo quando a fração molar de A no ponto 2, \,y_{A2}, diminui, mantendo-se os demais parâmetros constantes, no caso de difusão de A em B estagnado. Informações relevantes fornecidas:
  • Há difusão unidimensional e estacionária de A através de B estagnado.
  • A variável que muda é \,y_{A2} (a fração molar de A no ponto 2); tudo o mais permanece constante.
  • A pergunta é escolher entre: (a) Diminui, (b) Permanece constante, (c) Aumenta, (d) Inverte o sentido.

Passo 2

Vamos montar a expressão matemática do fluxo de A. Primeiro, escrevo a equação geral (molar) para o fluxo de A em uma mistura binária, em condição isotérmica e pressão constante:
N_A = -D_{AB}\,c\,\frac{d y_A}{dz} + y_A\,N,
onde:
  • N_A é o fluxo molar de A (mol·m{-2}·s{-1}),
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binária de A em B (m2·s{-1}),
  • c é a concentração molar total (mol·m^{-3}),
  • y_A é a fração molar de A,
  • z é a coordenada espacial na direção da difusão,
  • N é o fluxo molar total N=N_A+N_B.
Como B está estagnado ( N_B=0), tem-se N=N_A. Substituindo N=N_A na equação acima obtemos:
N_A = -D_{AB}\,c\,\frac{d y_A}{dz} + y_A\,N_A.
Isolando N_A obtemos a forma útil:
N_A\,(1-y_A) = -D_{AB}\,c\,\frac{d y_A}{dz}.

Passo 3

Agora integramos essa relação entre as duas posições (1 e 2). Rearranjando:
\frac{d y_A}{1-y_A} = -\frac{N_A}{D_{AB}\,c}\,dz.
Integro de z_1 a z_2 (distância L=z_2-z_1) e de y_{A1} a y_{A2}:
\int_{y_{A1}}^{y_{A2}} \frac{d y_A}{1-y_A} = -\frac{N_A}{D_{AB}\,c}\int_{z_1}^{z_2} dz.
A integral do lado esquerdo dá \displaystyle \ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right). Portanto
\ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right) = -\frac{N_A\,L}{D_{AB}\,c}.
Isolando N_A:
N_A = -\frac{D_{AB}\,c}{L}\,\ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right).
Essa expressão mostra explicitamente como o fluxo N_A depende de y_{A2} (mantendo y_{A1}, D_{AB}, c e L constantes).

Passo 4

Análise do efeito de diminuir \,y_{A2} com y_{A1} fixo. Considere a função
N_A(y_{A2}) = -\frac{D_{AB}\,c}{L}\,\ln\!\left(\frac{1-y_{A1}}{1-y_{A2}}\right).
Calculo a derivada em relação a y_{A2} para ver o sentido da variação:
\frac{dN_A}{dy_{A2}} = -\frac{D_{AB}\,c}{L}\cdot\frac{d}{dy_{A2}}\left[\ln(1-y_{A1})-\ln(1-y_{A2})\right] = -\frac{D_{AB}\,c}{L}\cdot\frac{1}{1-y_{A2}}.
Note que \displaystyle -\frac{D_{AB}\,c}{L}\cdot\frac{1}{1-y_{A2}}<0 (pois D_{AB},c,L>0 e 1-y_{A2}>0). Assim \dfrac{dN_A}{dy_{A2}}<0. Portanto, se \,y_{A2} diminui (ou seja, dy_{A2}<0), o produto \dfrac{dN_A}{dy_{A2}}\cdot dy_{A2} é positivo, o que significa que N_A aumenta.
Intuição física: reduzir y_{A2} torna maior o gradiente de concentração entre 1 e 2, aumentando o “motor” que impulsiona a difusão de A para o ponto 2; como B está estagnado, isso se traduz em maior fluxo de A.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha y_{A1}=0{,}5, D_{AB}c/L=1 (unidades convenientes). Se y_{A2}=0{,}1,
N_A = -1\cdot\ln\!\left(\frac{1-0{,}5}{1-0{,}1}\right) = -\ln\!\left(\frac{0{,}5}{0{,}9}\right)= -\ln(0{,}555\ldots)=0{,}587\ldots
Se y_{A2} diminui para 0{,}05,
N_A = -\ln\!\left(\frac{0{,}5}{0{,}95}\right) = -\ln(0{,}5263\ldots)=0{,}642\ldots
Ou seja, N_A aumentou quando y_{A2} diminuiu.

Passo 6

Concluindo: ao diminuir \,y_{A2} (com os demais parâmetros constantes) o fluxo de A aumenta.

Resposta

c) Aumenta

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