Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se ( an ) possui uma subsequência convergente, então ( an ) é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para julgar a afirmação: “Se (an) possui uma subsequência convergente, então (an) é convergente.” Aqui o conteúdo é sequência real, subsequência e convergência. Vamos usar conceito de subsequência e o fato de que toda subsequência de sequência convergente converge ao mesmo limite.

Passo 2

Considere a sequência
an = (-1)^n
Uma subsequência é obtida tomando apenas os índices pares: seja nk=2k, então
ank = a2k = (-1)^2k = 1,
e assim
limktoinftya2k = 1
Logo (an) possui uma subsequência convergente (para 1).

Passo 3

Mostramos que (an) não converge. Se convergisse para algum L, então toda subsequência também convergiria para o mesmo L. Mas a subsequência ímpar a2k+1=(-1)^2k+1=-1 satisfaz
limktoinftya2k+1=-1
Logo teríamos L=1 e L=-1 simultaneamente, absurdo. Portanto (an) não converge.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: an=(-1)^n, que tem subsequência convergente ( a2k=1to1) mas não converge.

Exercícios relacionados