Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se (
) possui uma subsequência convergente, então (
) é convergente.
Se (
Passo 1
O enunciado pede para julgar a afirmação: “Se
possui uma subsequência convergente, então
é convergente.” Aqui o conteúdo é sequência real, subsequência e convergência. Vamos usar conceito de subsequência e o fato de que toda subsequência de sequência convergente converge ao mesmo limite.
Passo 2
Considere a sequência
Uma subsequência é obtida tomando apenas os índices pares: seja
, então
e assim
Logo
possui uma subsequência convergente (para
).
Passo 3
Mostramos que
não converge. Se convergisse para algum
, então toda subsequência também convergiria para o mesmo
. Mas a subsequência ímpar
satisfaz
Logo teríamos
e
simultaneamente, absurdo. Portanto
não converge.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo:
, que tem subsequência convergente (
) mas não converge.