Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Toda sequência crescente não é convergente.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre sequências numéricas, monotonicidade (crescente) e convergência. Lembrando:
– Dizemos que uma sequência é crescente se, para todo ,
– Dizemos que converge para se, dado , existe tal que, para todo ,
A afirmação “toda sequência crescente não é convergente” nega a existência de qualquer sequência que seja simultaneamente crescente e convergente.
Passo 2
A afirmação é falsa. Como contra-exemplo, considere a sequência
Para ver que ela é crescente, note que
ou seja, para todo .
Passo 3
Agora mostramos que converge a . Dado , escolha tal que
Então, para todo ,
Logo limntoinftyan=1.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é an=1-tfrac1n, que é crescente e converge para 1.