Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Toda sequência crescente não é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre sequências numéricas, monotonicidade (crescente) e convergência. Lembrando:
– Dizemos que uma sequência l(anr) é crescente se, para todo n,
an+1>= an
– Dizemos que l(anr) converge para LinR se, dado varepsilon>0, existe N tal que, para todo n>= N,
|an - L|<varepsilon
A afirmação “toda sequência crescente não é convergente” nega a existência de qualquer sequência que seja simultaneamente crescente e convergente.

Passo 2

A afirmação é falsa. Como contra-exemplo, considere a sequência
an = 1 - 1n, n=1,2,3,dots
Para ver que ela é crescente, note que
an+1-an =l(1-1n+1r)-l(1-1nr) =1n-1n+1 =1n(n+1)>0,
ou seja, an+1>an para todo n.

Passo 3

Agora mostramos que l(anr) converge a 1. Dado varepsilon>0, escolha N tal que
N>1varepsilon
Então, para todo n>= N,
|an - 1| =l|1-1n-1r| =1n<=1N<varepsilon
Logo limntoinftyan=1.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é an=1-tfrac1n, que é crescente e converge para 1.

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