Encontre a solução geral das EDOs:
x y^prime prime+2 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x,y'' + 2,y' = 0
Este é um caso de equação de segunda ordem sem termo em y, ou seja, só aparece y'' e y'. Nesses casos a gente pode reduzir a ordem definindo uma nova função p(x)=y'(x).

Passo 2

Definindo
p(x) = y'(x),
temos
y''(x) = p'(x)
Substituindo na EDO original fica
x,p'(x) + 2,p(x) = 0

Passo 3

A equação
x,p'(x) + 2,p(x) = 0
é uma EDO de primeira ordem homogênea. Podemos separá-la em variáveis:
p'(x)p(x) = -2x
Agora é só integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Integrando,
integral p'(x)p(x),dx = integral -2x,dx Longrightarrow lnl|p(x)r| = -2ln|x| + C1
Exponenciando, obtemos
p(x) = y'(x) = K,x^-2,
onde K = e^C1 é uma constante arbitrária.

Passo 5

Finalmente, integramos y'(x)=Kx^-2:
y(x) = integral K,x^-2,dx = -K,x^-1 + C2
Renomeando as constantes (por exemplo, -K=C3 e C2=C4), a solução geral fica

Resposta

y(x) = C1 + C2x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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