Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se (
) possui subsequência convergente, então (
) é limitada.
Se (
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que “se uma sequência
possui alguma subsequência convergente, então
é limitada”. O conteúdo aqui é sobre definições de subsequência, convergência e sequência limitada.
Passo 2
Lembramos que toda sequência convergente é limitada, mas isso vale apenas para a própria subsequência, não necessariamente para a sequência completa. Para validar a implicação pedida, precisaríamos mostrar que a existência de uma subsequência convergente obriga todos os termos de
a ficarem dentro de algum intervalo de tamanho finito.
Passo 3
Para ver que isso não ocorre em geral, construímos um contra-exemplo. Defina
Então a subsequência dos índices ímpares é
que converge para
. Porém a sequência completa não é limitada, pois para índices pares
torna-se arbitrariamente grande quando
. Logo
é não-limitada.]
Passo 4
Concluímos que existe uma subsequência convergente sem que a sequência inteira seja limitada, portanto a afirmação original é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Contra-exemplo:
se
ímpar e
se
par. A subsequência ímpar converge a
, mas
não é limitada.