Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se ( an ) possui subsequência convergente, então ( an ) é limitada.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que “se uma sequência (an) possui alguma subsequência convergente, então (an) é limitada”. O conteúdo aqui é sobre definições de subsequência, convergência e sequência limitada.

Passo 2

Lembramos que toda sequência convergente é limitada, mas isso vale apenas para a própria subsequência, não necessariamente para a sequência completa. Para validar a implicação pedida, precisaríamos mostrar que a existência de uma subsequência convergente obriga todos os termos de (an) a ficarem dentro de algum intervalo de tamanho finito.

Passo 3

Para ver que isso não ocorre em geral, construímos um contra-exemplo. Defina
an = 0, &se (n) é ímpar,[6pt] n/2, &se (n) é par éíé
Então a subsequência dos índices ímpares é
a2k-1=0,
que converge para 0. Porém a sequência completa não é limitada, pois para índices pares
a2k = k
torna-se arbitrariamente grande quando ktoinfty. Logo (an) é não-limitada.]

Passo 4

Concluímos que existe uma subsequência convergente sem que a sequência inteira seja limitada, portanto a afirmação original é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. Contra-exemplo: an=0 se n ímpar e an=n/2 se n par. A subsequência ímpar converge a 0, mas (an) não é limitada.

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