Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se (an) é monótona e possui subsequência limitada então (an) é limitada.

Passo 1

O enunciado trata de sequências monótonas (isto é, não-decrescentes ou não-crescente) e afirma que, se uma dessas sequências possui alguma subsequência limitada, então a própria sequência é limitada. Vamos provar que isso é sempre verdade, analisando os dois casos de monotonicidade.

Passo 2

Suponha primeiro que (an) seja não-decrescente, ou seja,
a1 <= a2 <= a3 <= cdots
Se existe uma subsequência l(ankr) limitada superiormente, então existe MinR tal que
forall kcolon ank <= M
Como (nk) é estritamente crescente e não-limitada, para cada índice n existe algum k com n<= nk. Pela monotonia,
an <= ank <= M
Logo forall ncolon an <= M. Além disso, como a sequência é não-decrescente, a1 é um limite inferior comum:
forall ncolon a1 <= an
Portanto (an) está limitada entre a1 e M.

Passo 3

Agora suponha que (an) seja não-crescente, ou seja,
a1 >= a2 >= a3 >= cdots
Se existe uma subsequência l(ankr) limitada inferiormente, então existe minR tal que
forall kcolon ank >= m
Como antes, dado qualquer índice n escolhemos k com n<= nk; pela monotonia,
an >= ank >= m
E, como a sequência é não-crescente, a1 fornece um limite superior comum:
forall ncolon an <= a1
Assim (an) fica limitada entre m e a1.

Passo 4

Em ambos os casos (não-decrescente ou não-crescente) conseguimos estabelecer dois números reais que funcionam como limites inferior e superior globais de (an). Logo (an) é uma sequência limitada.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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