Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se
é monótona e possui subsequência limitada então
é limitada.
Se
Passo 1
O enunciado trata de sequências monótonas (isto é, não-decrescentes ou não-crescente) e afirma que, se uma dessas sequências possui alguma subsequência limitada, então a própria sequência é limitada. Vamos provar que isso é sempre verdade, analisando os dois casos de monotonicidade.
Passo 2
Suponha primeiro que
seja não-decrescente, ou seja,
Se existe uma subsequência
limitada superiormente, então existe
tal que
Como
é estritamente crescente e não-limitada, para cada índice
existe algum
com
. Pela monotonia,
Logo
. Além disso, como a sequência é não-decrescente,
é um limite inferior comum:
Portanto
está limitada entre
e
.
Passo 3
Agora suponha que
seja não-crescente, ou seja,
Se existe uma subsequência
limitada inferiormente, então existe
tal que
Como antes, dado qualquer índice
escolhemos
com
; pela monotonia,
E, como a sequência é não-crescente,
fornece um limite superior comum:
Assim
fica limitada entre
e
.
Passo 4
Em ambos os casos (não-decrescente ou não-crescente) conseguimos estabelecer dois números reais que funcionam como limites inferior e superior globais de
. Logo
é uma sequência limitada.
Resposta
A afirmação é verdadeira.