Resolva os PDI, por Laplace(todas as questões valem 2,0 pontos):
ddoty+y & =de<a(t-pi) y(0) & =-2 doty(0) & =1 ddoty-2 y & =e^-2 t y(0) & =doty(0)=1 ddoty-2 doty+y & =e^-t+u2(t) y(0) & =doty(0)=1 & ddoty-2 doty+3 y= & u1(t) e^-(t-1) cos (t-1) y(0)= & 2 doty(0)= & 1

Passo 1

Temos quatro EDOs a resolver por transformada de Laplace, todas com condições iniciais em t=0 e algumas forças envolvendo de<a, ua(t) e exponenciais. Vamos usar:
  1. Lddot y=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ldot y=sY(s)-y(0).
  2. Lde<a(t-a)=e^-a s.
  3. Lua(t)f(t-a)=e^-a sF(s).
    Depois faremos frações parciais para inverter cada Y(s).

Passo 2

EDO 1:
ddot y+y=de<a(t-pi),;y(0)=-2,;y'(0)=1
Tomando Laplace:
s^2Y-(-2)s-1 +Y = e^-pi s ;Longrightarrow;(s^2+1)Y +2s-1=e^-pi s ;Longrightarrow; Y(s)=e^-pi ss^2+1-2s-1s^2+1
Escrevendo tfrac2s-1s^2+1=2ss^2+1-1s^2+1 e invertendo:
y(t) =underbrace-2cos t+sin tyh(t) +underbracesinl(t-pir),u(t-pi)L^-1e^-pi s/(s^2+1)

Passo 3

EDO 2:
ddot y-2y=e^-2t,;y(0)=y'(0)=1
Laplace:
s^2Y -s-1 -2Y=1s+2 ;Longrightarrow;(s^2-2)Y = 1s+2+s+1 ;Longrightarrow; Y(s)=1/(s+2)+s+1s^2-2
Fazendo frações parciais em
1(s+2)(s^2-2)
e usando
L^-1!ltfracss^2-2r=cosh(raiz2,t),
L^-1!ltfrac1s^2-2r=tfrac1raiz2sinh(raiz2,t),
L^-1!tfrac1s+2=e^-2t,
chega-se a
y(t) =tfrac12 e^-2t +tfrac12cosh(raiz2,t) +raiz2,sinh(raiz2,t)

Passo 4

EDO 3:
ddot y-2dot y+y=e^-t+u2(t),;y(0)=y'(0)=1
Laplace:
(s^2Y -s-1)-2(sY-1)+Y =1s+1+e^-2ss ;Longrightarrow;(s-1)^2Y -(s-1) =1s+1+e^-2ss
Logo
Y(s) =s-1(s-1)^2+1(s+1)(s-1)^2 +e^-2ss,(s-1)^2 = 1s-1+1(s+1)(s-1)^2+e^-2ss,(s-1)^2
Inversão dá
L^-11/(s-1)=e^t
e, por frações parciais,
L^-11/[(s+1)(s-1)^2]=tfrac14e^-t-tfrac14e^t+tfrac12,t,e^t,
L^-11/[s(s-1)^2]=1-e^t+t,e^t.
Aplicando atraso e^-2s obtemos
y(t) =e^t +l(tfrac14e^-t-tfrac14e^t+tfrac12,t,e^tr) +l[1-e^t-2+(t-2)e^t-2r],u(t-2)

Passo 5

EDO 4:
ddot y-2dot y+3y =u1(t),e^-(t-1)cos(t-1), ;y(0)=2,;y'(0)=1
Laplace da força f(t)=u1(t)e^-(t-1)cos(t-1) é
F(s) =e^-s,s+1(s+1)^2+1
Transformada da EDO e isolamento dão
Y(s) =2s-3(s-1)^2+2 ;+; e^-s, s+1l((s+1)^2+1r)l((s-1)^2+2r)
A primeira parcela inverte-se escrevendo s-1 como variável de mudança e resulta
yh(t) =2cos(raiz2,t)-tfrac1raiz2sin(raiz2,t)
Na segunda fazemos frações parciais em
s+1[(s+1)^2+1][(s-1)^2+2]
e achamos
g(t) =541e^-tcos t +141e^-tsin t -541e^tcos(raiz2,t) +1441raiz2e^tsin(raiz2,t)
Por fim, a contribuição atrasada é L^-1e^-sG(s)=g(t-1),u(t-1).

Resposta

EDO 1:
boxed y(t)=-2cos t+sin t +sin(t-pi),u(t-pi)
EDO 2:
boxed y(t)=tfrac12,e^-2t +tfrac12,cosh(raiz2,t) +raiz2,sinh(raiz2,t)
EDO 3:
boxed y(t)=e^t +l(tfrac14e^-t-tfrac14e^t+tfrac12,t,e^tr) +l[1-e^t-2+(t-2)e^t-2r],u(t-2)
EDO 4:
boxed y(t) =2cos(raiz2,t)-tfrac1raiz2sin(raiz2,t) +g(t-1),u(t-1),
com
g(tau) =541e^-taucos tau +141e^-tausin tau -541e^taucos(raiz2,tau) +1441raiz2e^tausin(raiz2,tau)

Exercícios relacionados