Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se (
) é uma sequência crescente, então ela não é limitada superiormente.
Se (
Passo 1
O enunciado pergunta se toda sequência crescente
é necessariamente ilimitada superiormente. O conteúdo envolve definição de sequência monótona e noção de limite superior (ser “bounded above”).
Passo 2
Mostramos que a afirmação é falsa por meio de um contra-exemplo. Considere a sequência
- Primeiro, verificamos que
é crescente. Para isso, calculamos a diferença
Logo,
para todo
, ou seja,
é crescente.
2. Em segundo lugar, vemos que para todo
, pois
2. Em segundo lugar, vemos que
Isto mostra que
é um majorante de
. Portanto,
é limitada superiormente por
.
Assim, temos uma sequência crescente que, ao contrário do enunciado, é limitada acima. Isso basta para concluir que a afirmação original é falsa.
Resposta
Falsa.
Contra-exemplo: é crescente e limitada superiormente por
.
Contra-exemplo: