Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se ( an ) é uma sequência crescente, então ela não é limitada superiormente.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda sequência crescente (an) é necessariamente ilimitada superiormente. O conteúdo envolve definição de sequência monótona e noção de limite superior (ser “bounded above”).

Passo 2

Mostramos que a afirmação é falsa por meio de um contra-exemplo. Considere a sequência
an = 1 - 1n, n=1,2,3,dots
  1. Primeiro, verificamos que (an) é crescente. Para isso, calculamos a diferença
an+1-an = l(1 - 1n+1r) - l(1 - 1nr) = 1n - 1n+1 = n+1 - nn(n+1) = 1n(n+1) > 0
Logo, an+1>an para todo n, ou seja, (an) é crescente.
2. Em segundo lugar, vemos que an<1 para todo n, pois
1 - 1n < 1
Isto mostra que 1 é um majorante de (an). Portanto, (an) é limitada superiormente por 1.
Assim, temos uma sequência crescente que, ao contrário do enunciado, é limitada acima. Isso basta para concluir que a afirmação original é falsa.

Resposta

Falsa.
Contra-exemplo: an=1-1n é crescente e limitada superiormente por 1.

Exercícios relacionados