Resolva os problemas de valor inicial:
x^2 y^prime prime+x y^prime+9 y=0 ; y(1)=0 ; y^prime(1)=2,5

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + x y' + 9y = 0
com as condições iniciais
y(1)=0, y'(1)=2,5
Para resolver, vamos supor uma solução do tipo y=x^r e obter a equação característica em r.

Passo 2

Assumindo y=x^r, temos
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo em x^2y'' + x y' +9y=0, vem
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+xl[r x^r-1r]+9,x^r=0 ;Longrightarrow;r(r-1)+r+9=0

Passo 3

A equação característica é
r^2 + 9 = 0
cuja solução é
r = pm 3,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas 0pm3i, a solução geral real é
y(x) = C1cosl(3ln xr) ;+; C2sinl(3ln xr)

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = -,3C1xsinl(3ln xr) +3C2xcosl(3ln xr)
Aplicando y(1)=0
0 = C1cos0 + C2sin0 ;Longrightarrow;C1=0
E y'(1)=2,5
2,5 = 3C21cos0 ;Longrightarrow;3C2=2,5 ;Longrightarrow;C2=2,53=56

Resposta

y(x) = 56,sinl(3ln xr)

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