(2,0 pontos) Resolva o sistema de Edo(representa um processo de Markov, com 3 estados) e diga o que acontece quando t infty.
d P1d t & =-2 a P1+b P2+c P3 d P2d t & =a P1-2 b P2+c P3 d P3d t & =a P1+b P2-2 c P3 P1(0) & =1 ; P2(0)=P3(0)=0 a, b, c & in R>= 0

Passo 1

O sistema dado é
com , .
Podemos escrevê-lo de forma matricial
Este é o gerador de uma cadeia de Markov em tempo contínuo: as componentes de somam e convergem a um equilíbrio.

Passo 2

Mostramos que P1+P2+P3 é constante. De fato,
ddt(P1+P2+P3) =(-2a+a+a)P1+(b-2b+b)P2+(c+c-2c)P3=0,
logo P1(t)+P2(t)+P3(t)=1 para todo t>=0.

Passo 3

O estado estacionário Pinfty satisfaz
M, Pinfty=0, P1,infty+P2,infty+P3,infty=1
Das três equações -2aP1+bP2+cP3=0 etc., obtém-se
Pinftypropto(1/a,,1/b,,1/c). Normalizando,
P1,infty =tfrac1atfrac1a+tfrac1b+tfrac1c, P2,infty =tfrac1btfrac1a+tfrac1b+tfrac1c, P3,infty =tfrac1ctfrac1a+tfrac1b+tfrac1c

Passo 4

O polinômio característico de M é
det(M-lambda I) =lambdal[lambda^2+2(a+b+c)lambda+3(ab+bc+ca)r]=0
Logo os autovalores são
lambda0=0, lambdapm =-(a+b+c)pmraiz,a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca,,
Como a,b,c>=0, os dois últimos são estritamente negativos (ou iguais zero se a=b=c).

Passo 5

A solução geral é
P(t) =Pinfty +C+ e^lambda+ t , v+ +C- e^lambda- t , v-,
onde vpm são autovetores associados a lambdapm e Cpm fixados por P(0)=(1,0,0). Como lambdapm < 0, tem-se
e^lambdapm t to 0 quando t to infty.

Resposta

Para todo i=1,2,3
Pi(t);longrightarrow;Pi,infty quando ttoinfty,
sendo
P1,infty =tfrac1atfrac1a+tfrac1b+tfrac1c, P2,infty =tfrac1btfrac1a+tfrac1b+tfrac1c, P3,infty =tfrac1ctfrac1a+tfrac1b+tfrac1c

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