(2,0 pontos) Resolva o sistema de Edo(representa um processo de Markov, com 3 estados) e diga o que acontece quando
.
Passo 1
O sistema dado é
com
,
.
Podemos escrevê-lo de forma matricial
Podemos escrevê-lo de forma matricial
Este é o gerador de uma cadeia de Markov em tempo contínuo: as componentes de
somam
e convergem a um equilíbrio.
Passo 2
Mostramos que
é constante. De fato,
logo
para todo
.
Passo 3
O estado estacionário
satisfaz
Das três equações
etc., obtém-se
. Normalizando,
Passo 4
O polinômio característico de
é
Logo os autovalores são
Como
, os dois últimos são estritamente negativos (ou iguais zero se
).
Passo 5
A solução geral é
onde
são autovetores associados a
e
fixados por
. Como
, tem-se
quando
.
Resposta
Para todo
sendo