Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se
e
, então a sequência
converge para
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, sendo
uma sequência real com
e dado um escalar , a nova sequência
converge para .
Aqui usamos o conceito de limite de sequência: dado , existe
tal que
sempre que
.
e dado um escalar
converge para
Aqui usamos o conceito de limite de sequência: dado
Passo 2
Suponha primeiro
. Queremos mostrar que para todo
existe
tal que
Observe que
Como
, para o valor
existe
tal que
para todo
.
Então, para esses ,
Então, para esses
Isso prova que
quando
.
Passo 3
Se
, então
para todo
, e daí
. Mas
, logo também
.
Com isso, em todo caso (
ou
) fica demonstrado que
Resposta
Verdadeiro.