Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se an L e k in R, então a sequência (bn)=(k an) converge para k L.

Passo 1

O enunciado afirma que, sendo l(anr) uma sequência real com
limntoinftyan=L
e dado um escalar kinR, a nova sequência
bn=k,an
converge para kL.
Aqui usamos o conceito de limite de sequência: dado varepsilon>0, existe N tal que lvert an-Lrvert<varepsilon sempre que n>= N.

Passo 2

Suponha primeiro kneq 0. Queremos mostrar que para todo varepsilon>0 existe N tal que
lvert bn-kLrvert < varepsilon sempre que n>= N
Observe que
lvert bn-kLrvert =lvert k,an-kLrvert =lvert krvert;lvert an-Lrvert
Como anto L, para o valor varepsilon' = varepsilon/lvert krvert existe N tal que
lvert an-Lrvert<varepsilon' para todo n>= N.
Então, para esses n,
lvert bn-kLrvert =lvert krvert,lvert an-Lrvert <lvert krvert,varepsilon' =lvert krvert,varepsilonlvert krvert =varepsilon
Isso prova que bnto kL quando kneq0.

Passo 3

Se k=0, então bn=0 para todo n, e daí lim bn=0. Mas kL=0cdot L=0, logo também bnto kL.
Com isso, em todo caso ( k=0 ou kneq0 ) fica demonstrado que
limntoinfty (k,an) = k,limntoinftyan

Resposta

Verdadeiro.

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