Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se
, para todo natural
, e
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos duas sequências
e
tais que
para todo
, e além disso
e
.
O conteúdo envolvido é o comportamento de limites de sequências sob desigualdades.
O conteúdo envolvido é o comportamento de limites de sequências sob desigualdades.
Passo 2
Sabemos do teorema de ordem para limites que, se para todo
suficientemente grande vale
, então necessariamente
.
Porém esse teorema não garante que a desigualdade seja estrita no limite, ou seja, não assegura .
Porém esse teorema não garante que a desigualdade seja estrita no limite, ou seja, não assegura
Passo 3
Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contra-exemplo simples.
Defina
Defina
Então claramente, para todo
,
.
Por outro lado,
Por outro lado,
logo
e
, de modo que
.
Passo 4
Nesse exemplo temos
para todo
, mas os limites coincidem:
. Logo não se verifica
.
Resposta
A afirmação é falsa. O contra-exemplo acima mostra que mesmo com
sempre, pode acontecer
.