Diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, prove, se falsa, dê um contra-exemplo.
Se an<bn, para todo natural n, e an a e bn b então a<b.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas sequências (an) e (bn) tais que
;an<bn para todo ninN, e além disso
;anto a e bnto b.
O conteúdo envolvido é o comportamento de limites de sequências sob desigualdades.

Passo 2

Sabemos do teorema de ordem para limites que, se para todo n suficientemente grande vale
;an<= bn, então necessariamente
;a<= b.
Porém esse teorema não garante que a desigualdade seja estrita no limite, ou seja, não assegura a<b.

Passo 3

Para mostrar que a afirmação é falsa, basta dar um contra-exemplo simples.
Defina
an = 0, bn = 1n
Então claramente, para todo n,
;an = 0 < tfrac1n = bn.
Por outro lado,
limntoinftyan = 0, limntoinftybn = 0,
logo a=0 e b=0, de modo que a=b.

Passo 4

Nesse exemplo temos an<bn para todo n, mas os limites coincidem: a=b. Logo não se verifica a<b.

Resposta

A afirmação é falsa. O contra-exemplo acima mostra que mesmo com an<bn sempre, pode acontecer a=b.

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