(1,5) Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando-as quando verdadeiras, ou dando contra-exemplos quando falsa.
integral-1^1 1x^2 d x=-2

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: integral-1^1 1x^2 , dx = -2. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas, especialmente integrais impróprias, já que a função 1x^2 tem uma descontinuidade em x = 0. Para resolver isso, precisamos entender como calcular integrais envolvendo funções que não são contínuas no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1x^2 é uma função que apresenta uma descontinuidade em x = 0, o que torna a integral de -1 a 1 uma integral imprópria. Para resolver, devemos dividir a integral em duas partes, aproximando-nos de 0 por laços menores:
integral-1^1 1x^2 , dx = lima to 0^- integral-1^a 1x^2 , dx + limb to 0^+ integralb^1 1x^2 , dx

Passo 3

Calculando cada limite separadamente:
Para $ \lim_{a \to 0^{-}} \int_{-1}^{a} \frac{1}{x^{2}} , dx $:
lima to 0^- integral-1^a 1x^2 , dx
Avaliado de integral 1x^2 , dx = -1x + C a -1:
a
Quando [ -1a ] - [ -1-1 ] = -1a - 1 , a to 0^-, portanto, o primeiro limite é -1a to +infty.
Para $ \lim_{b \to 0^{+}} \int_{b}^{1} \frac{1}{x^{2}} , dx $:
+infty
Quando limb to 0^+ integralb^1 1x^2 , dx , [ -11 ] - [ -1b ] = -1 + 1b , portanto, o segundo limite também é b to 0^+.

Resposta

A afirmação integral-1^1 1x^2 , dx = -2 é falsa, pois a integral diverge para +infty devido à descontinuidade em x = 0.

Exercícios relacionados