Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando-as quando verdadeiras, ou dando contra-exemplos quando falsa.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação:
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais definidas, especialmente integrais impróprias, já que a função
tem uma descontinuidade em
. Para resolver isso, precisamos entender como calcular integrais envolvendo funções que não são contínuas no intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma função que apresenta uma descontinuidade em
, o que torna a integral de
a
uma integral imprópria. Para resolver, devemos dividir a integral em duas partes, aproximando-nos de
por laços menores:
Passo 3
Calculando cada limite separadamente:
Para $ \lim_{a \to 0^{-}} \int_{-1}^{a} \frac{1}{x^{2}} , dx $:
Avaliado de
a
:
Quando
,
, portanto, o primeiro limite é
.
Para $ \lim_{b \to 0^{+}} \int_{b}^{1} \frac{1}{x^{2}} , dx $:
Quando
,
, portanto, o segundo limite também é
.
Resposta
A afirmação
é falsa, pois a integral diverge para
devido à descontinuidade em
.