Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável) d yd x=x+1y.

Passo 1

Então, a gente tem essa equação diferencial de primeira ordem que é separável: . Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a função em termos de . Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que é perfeita para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação separável. É quando conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação, assim a gente consegue integrar cada parte separadamente. Então, vamos reorganizar a equação para conseguir isso.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por y cdot dydx = x + 1 para levar y , dy = (x + 1) , dx para o lado esquerdo e deixar tudo em termos de no lado direito:
Isso nos dá:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com estão de um lado e os termos com estão do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente integra em relação a integral y , dy = integral (x + 1) , dx no lado esquerdo e em relação a 12 y^2 = 12 x^2 + x + C no lado direito:
Resolvendo as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar a equação:
y^2 = x^2 + 2x + C'
onde ainda é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 = x^2 + 2x + C
onde é uma constante arbitrária.

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