Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Separável)
.
(Equação Separável)
Passo 1
Então, a gente tem essa equação diferencial de primeira ordem que é separável:
. Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para encontrar a função
em termos de
. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis, que é perfeita para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação separável. É quando conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, assim a gente consegue integrar cada parte separadamente. Então, vamos reorganizar a equação para conseguir isso.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para levar
para o lado esquerdo e deixar tudo em termos de
no lado direito:
Isso nos dá:
Agora, as variáveis estão separadas: todos os termos com
estão de um lado e os termos com
estão do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A gente integra em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
Resolvendo as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Por fim, podemos multiplicar tudo por 2 para simplificar a equação:
onde
ainda é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.