Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata) (t^2-x) d t-t d x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem que é uma equação exata. A equação que temos é (t^2 - x) , dt - t , dx = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma M(t, x) , dt + N(t, x) , dx = 0 é exata se existir uma função potencial F(t, x) tal que:
partial Fpartial t = M e partial Fpartial x = N
Então, nossa tarefa é encontrar essa função F(t, x).

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(t, x) = t^2 - x e N(t, x) = -t
Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, verificamos se:
partial Mpartial x = partial Npartial t
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial x = -1 e partial Npartial t = -1
Como partial Mpartial x = partial Npartial t, a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial F(t, x). Para isso, integramos M em relação a t:
F(t, x) = integral M(t, x) , dt = integral (t^2 - x) , dt = t^33 - x t + g(x)
Aqui, g(x) é uma função arbitrária de x que surgirá da integração.

Passo 5

Em seguida, usamos a condição partial Fpartial x = N para encontrar g(x).
partial Fpartial x = -t + g'(x) = -t
Comparando, temos:
-t + g'(x) = -t implies g'(x) = 0
Integrando g'(x), encontramos que g(x) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 6

Então, a função potencial completa é:
F(t, x) = t^33 - x t + C
A solução geral da equação diferencial é dada por F(t, x) = constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
t^33 - x t = C
onde C é uma constante arbitrária.

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