Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Exata)
.
(Equação Exata)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial de Primeira Ordem que é uma equação exata. A equação que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se existir uma função potencial
tal que:
Então, nossa tarefa é encontrar essa função
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, precisamos verificar se a equação é realmente exata. Para isso, verificamos se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surgirá da integração.
Passo 5
Em seguida, usamos a condição
para encontrar
.
Comparando, temos:
Integrando
, encontramos que
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Então, a função potencial completa é:
A solução geral da equação diferencial é dada por
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.