Sabemos que, para todo par de números inteiros positivos a e b vale a igualdade:
m d c(a, b) cdot m m c(a, b)=a cdot b
Diante desse contexto, pergunta-se:
(a) Esta mesma igualdade vale para quaisquer três números inteiros positivos a, b e c, isto é:
m d c(a, b, c) cdot m m c(a, b, c)=a b c ?
Justifique sua resposta.
(b) Se mdc(a, b, c)=1, podemos afirmar que a igualdade, do ítem acima, subsiste? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado lembra que, para dois inteiros positivos a e b, vale
gcd(a,b),lcm(a,b)=acdot b
e pergunta: será que, para três inteiros positivos a,b,c, temos
gcd(a,b,c),lcm(a,b,c)=acdot bcdot c?
No item (b) quer saber ainda se isso volta a valer quando gcd(a,b,c)=1.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos em cada primo pi:
a=prodi pi^alphai, b=prodi pi^betai, c=prodi pi^gammai
Então
gcd(a,b,c)=prodi pi^min(alphai,betai,gammai),
lcm(a,b,c)=prodi pi^max(alphai,betai,gammai),
a,b,c=prodi pi^alphai+betai+gammai
Para que
gcd(a,b,c),lcm(a,b,c)=a,b,c
precisássemos de
min(alphai,betai,gammai)+max(alphai,betai,gammai) =alphai+betai+gammai para todo (i)
Isso só ocorre em casos muito especiais (por exemplo, se um dos expoentes for zero e os outros dois coincidirem com o mínimo e o máximo).

Passo 3

Como essa condição nem sempre se satisfaz, a igualdade falha no caso geral. Por exemplo, tome
(a,b,c)=(2,4,8)
Aqui
gcd(2,4,8)=2,
lcm(2,4,8)=8
e
2cdot 4cdot 8=64,
mas
gcdcdotlcm=2cdot8=16neq64.
Logo, a resposta de (a) é “não”.

Passo 4

Mesmo impondo gcd(a,b,c)=1, a fórmula pode falhar, pois a soma dos expoentes ainda pode não se reduzir a mínimo mais máximo. Por exemplo,
(a,b,c)=(2,3,4)
tem gcd(2,3,4)=1 e lcm(2,3,4)=12, mas
2cdot3cdot4=24
e
gcdcdotlcm=1cdot12=12neq24.
Portanto, em (b) também a resposta é “não”.

Resposta

(a) Não.
(b) Não.

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