Sabemos que, para todo par de números inteiros positivos
e
vale a igualdade:
Diante desse contexto, pergunta-se:
(a) Esta mesma igualdade vale para quaisquer três números inteiros positivos
e
, isto é:
Justifique sua resposta.
(b) Se
, podemos afirmar que a igualdade, do ítem acima, subsiste? Justifique sua resposta.
(a) Esta mesma igualdade vale para quaisquer três números inteiros positivos
(b) Se
Passo 1
O enunciado lembra que, para dois inteiros positivos
e
, vale
e pergunta: será que, para três inteiros positivos
, temos
No item (b) quer saber ainda se isso volta a valer quando
.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, escrevemos em cada primo
:
Então
Para que
precisássemos de
Isso só ocorre em casos muito especiais (por exemplo, se um dos expoentes for zero e os outros dois coincidirem com o mínimo e o máximo).
Passo 3
Como essa condição nem sempre se satisfaz, a igualdade falha no caso geral. Por exemplo, tome
Aqui
,
e
,
mas
.
Logo, a resposta de (a) é “não”.
e
mas
Logo, a resposta de (a) é “não”.
Passo 4
Mesmo impondo
, a fórmula pode falhar, pois a soma dos expoentes ainda pode não se reduzir a mínimo mais máximo. Por exemplo,
tem
e
, mas
e
.
Portanto, em (b) também a resposta é “não”.
e
Portanto, em (b) também a resposta é “não”.
Resposta
(a) Não.
(b) Não.
(b) Não.