Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a equação \left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1}{x^{2}} é verdadeira ou falsa.
Informações fornecidas: a equação envolve a variável \,x e potências/quocientes. Não foi especificado domínio, então é preciso lembrar que divisão por zero não é permitida.

Passo 2

Primeiro cuidado (domínio): ambas as expressões envolvem divisão por \,x. Portanto é obrigatória a condição
x \neq 0.
Se \,x=0 as duas expressões são indefinidas (não faz sentido calculá‑las), então não podemos falar em igualdade nesse caso. A partir de agora vamos considerar somente \,x\neq0.

Passo 3

Regra de potências de fração (explicação didática): para quaisquer números a e b com b\neq0 e para o expoente inteiro 2, vale
\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Justificativa simples: elevar ao quadrado significa multiplicar por si mesmo:
\left(\frac{a}{b}\right)^{2}=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a\cdot a}{b\cdot b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Isto é uma propriedade básica de potências e multiplicação de frações; não é necessário cálculo complicado.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso a=1 e b=x (lembrando que x\neq0):
\left(\frac{1}{x}\right)^{2}=\frac{1^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}.
Aqui usamos ainda que 1^{2}=1. Portanto, para todo \,x\neq0 a igualdade é verdadeira.

Passo 5

Exemplos numéricos que ajudam a fixar (mostrando que dá certo para positivos e negativos):
  • Para \,x=2: \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4} e \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}. Coincidem.
  • Para \,x=-3: \left(\frac{1}{-3}\right)^{2}=\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}=\tfrac{1}{9} e \frac{1}{(-3)^{2}}=\tfrac{1}{9}. Coincidem.
  • Para \,x=0: \left(\frac{1}{0}\right)^{2} e \frac{1}{0^{2}} são indefinidas.

Passo 6

Observação sobre notação: muitas vezes escreve‑se 1/x^{2} e entende‑se automaticamente como 1/(x^{2}). Isso é consistente com a propriedade mostrada, então não há contradição de notação aqui.

Resposta

Verdadeira para todo x\neq0. Para x=0 as expressões são indefinidas.

Exercícios relacionados