Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a equação
é verdadeira ou falsa.
Informações fornecidas: a equação envolve a variável e potências/quocientes. Não foi especificado domínio, então é preciso lembrar que divisão por zero não é permitida.
Informações fornecidas: a equação envolve a variável
Passo 2
Primeiro cuidado (domínio): ambas as expressões envolvem divisão por
. Portanto é obrigatória a condição
Se
as duas expressões são indefinidas (não faz sentido calculá‑las), então não podemos falar em igualdade nesse caso. A partir de agora vamos considerar somente
.
Passo 3
Regra de potências de fração (explicação didática): para quaisquer números
e
com
e para o expoente inteiro
, vale
Justificativa simples: elevar ao quadrado significa multiplicar por si mesmo:
Isto é uma propriedade básica de potências e multiplicação de frações; não é necessário cálculo complicado.
Passo 4
Aplicando a regra ao caso
e
(lembrando que
):
Aqui usamos ainda que
. Portanto, para todo
a igualdade é verdadeira.
Passo 5
Exemplos numéricos que ajudam a fixar (mostrando que dá certo para positivos e negativos):
- Para
: e . Coincidem. - Para
: e . Coincidem. - Para
: e são indefinidas.
Passo 6
Observação sobre notação: muitas vezes escreve‑se
e entende‑se automaticamente como
. Isso é consistente com a propriedade mostrada, então não há contradição de notação aqui.
Resposta
Verdadeira para todo
. Para
as expressões são indefinidas.