Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a equação
é verdadeira ou falsa. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão
só está definida (no conjunto dos reais) se . - A notação
indica a raiz quadrada principal (sempre não negativa). - Não há outras hipóteses sobre
no enunciado, então considere .
Passo 2
Determinar o domínio (valores de
para os quais a expressão é real).
Portanto só podemos ter igualdade (em
) quando
.
Além disso, lembro uma identidade importante para reais:
Isto porque a raiz quadrada principal é não negativa, logo
retorna o valor absoluto de
.
Passo 3
Usando
, reescrevo a equação para
reais com
:
Note que o lado direito já é não negativo exatamente quando
, então podemos proceder a manipular a igualdade sem alterar sinais.
Passo 4
Para simplificar, defino
. Assim
e a equação fica
Como os dois lados são não negativos, posso elevar ambos ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal:
Calculando o quadrado à direita:
Igualando as expressões:
Cancelando
em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 5
Voltando para
:
implica
Verificação direta nesses valores:
- Se
:
- Se
:
Ambos satisfazem a igualdade.
Para mostrar que a igualdade não vale em geral, um contraexemplo numérico basta: tome
. Então
e
logo não são iguais.
Passo 6
Observação didática final (dica para a prova): não se pode, em geral, separar raízes como
— isso é falso. Aqui a única coincidência ocorreu porque ambos os lados ficaram zero quando
. Ao manipular equações com raízes quadradas, sempre verifique domínio e, se usar o procedimento de elevar ao quadrado, faça a verificação final para eliminar possíveis soluções extraviadas.
Resposta
Verdadeira somente para
; falsa para qualquer outro
.