Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
\sqrt{a^{2}-6}=\sqrt{a^{2}}-\sqrt{6}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a equação
\sqrt{a^{2}-6}=\sqrt{a^{2}}-\sqrt{6}
é verdadeira ou falsa. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão \sqrt{a^{2}-6} só está definida (no conjunto dos reais) se a^{2}-6\ge0.
  • A notação \sqrt{\cdot} indica a raiz quadrada principal (sempre não negativa).
  • Não há outras hipóteses sobre a no enunciado, então considere a\in\mathbb{R}.

Passo 2

Determinar o domínio (valores de a para os quais a expressão é real).
a^{2}-6\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\ge6 \quad\Longleftrightarrow\quad |a|\ge\sqrt{6}.
Portanto só podemos ter igualdade (em \mathbb{R}) quando |a|\ge\sqrt{6}.
Além disso, lembro uma identidade importante para reais:
\sqrt{a^{2}} = |a|.
Isto porque a raiz quadrada principal é não negativa, logo \sqrt{a^{2}} retorna o valor absoluto de a.

Passo 3

Usando \sqrt{a^{2}}=|a|, reescrevo a equação para a reais com |a|\ge\sqrt{6}:
\sqrt{a^{2}-6}=|a|-\sqrt{6}.
Note que o lado direito já é não negativo exatamente quando |a|\ge\sqrt{6}, então podemos proceder a manipular a igualdade sem alterar sinais.

Passo 4

Para simplificar, defino t=|a|. Assim t\ge\sqrt{6} e a equação fica
\sqrt{t^{2}-6}=t-\sqrt{6}.
Como os dois lados são não negativos, posso elevar ambos ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal:
t^{2}-6=(t-\sqrt{6})^{2}.
Calculando o quadrado à direita:
(t-\sqrt{6})^{2}=t^{2}+6-2t\sqrt{6}.
Igualando as expressões:
t^{2}-6 = t^{2}+6-2t\sqrt{6}.
Cancelando t^{2} em ambos os lados:
-6 = 6 - 2t\sqrt{6}.
Isolando t:
-12 = -2t\sqrt{6} \quad\Longrightarrow\quad t\sqrt{6}=6 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}.

Passo 5

Voltando para a: t=|a|=\sqrt{6} implica
|a|=\sqrt{6}\quad\Longrightarrow\quad a=\pm\sqrt{6}.
Verificação direta nesses valores:
  • Se a=\sqrt{6}:
\sqrt{a^{2}-6}=\sqrt{6-6}=0,\qquad \sqrt{a^{2}}-\sqrt{6}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0.
  • Se a=-\sqrt{6}:
\sqrt{a^{2}-6}=\sqrt{6-6}=0,\qquad \sqrt{a^{2}}-\sqrt{6}=|-\sqrt{6}|-\sqrt{6}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0.
Ambos satisfazem a igualdade.
Para mostrar que a igualdade não vale em geral, um contraexemplo numérico basta: tome a=3. Então a^{2}-6=9-6=3 e
\sqrt{a^{2}-6}=\sqrt{3}\approx1{,}732,\qquad \sqrt{a^{2}}-\sqrt{6}=3-\sqrt{6}\approx0{,}551,
logo não são iguais.

Passo 6

Observação didática final (dica para a prova): não se pode, em geral, separar raízes como \sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y} — isso é falso. Aqui a única coincidência ocorreu porque ambos os lados ficaram zero quando |a|=\sqrt{6}. Ao manipular equações com raízes quadradas, sempre verifique domínio e, se usar o procedimento de elevar ao quadrado, faça a verificação final para eliminar possíveis soluções extraviadas.

Resposta

Verdadeira somente para a=\pm\sqrt{6}; falsa para qualquer outro a\in\mathbb{R}.

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