Diga se cada equação é verdadeira ou falsa.
a^{4}+b^{4}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a igualdade
a^{4}+b^{4}=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}
é verdadeira ou falsa. Informações dadas:
  • As variáveis são a e b, sem domínio explicitado (assumir números reais).
  • A pergunta é se a igualdade vale para todos os valores de a e b dados.

Passo 2

Lembrete útil: a fórmula do quadrado da soma (identidade algébrica) diz que, para quaisquer números x e y,
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Isto vem de multiplicar (x+y)(x+y) e somar os termos correspondentes: x\cdot x, x\cdot y, y\cdot x, y\cdot y.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao caso com x=a^{2} e y=b^{2}, obtemos:
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=(a^{2})^{2}+2(a^{2})(b^{2})+(b^{2})^{2}.
Simplificando as potências:
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}.

Passo 4

Compare agora o lado esquerdo da igualdade proposta, que é a^{4}+b^{4}, com a expansão que encontramos. A diferença entre o lado direito e o lado esquerdo é
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}-\bigl(a^{4}+b^{4}\bigr)=2a^{2}b^{2}.
Logo, para que a igualdade original fosse verdadeira para um dado par (a,b) seria necessário que
2a^{2}b^{2}=0.

Passo 5

A expressão 2a^{2}b^{2} é igual a zero somente quando a^{2}b^{2}=0, ou seja, quando a=0 ou b=0. Portanto a igualdade só pode ocorrer nesses casos especiais (por exemplo (a,b)=(0,3) ou (a,b)=(2,0)).

Passo 6

Um contraexemplo simples mostra que a igualdade não vale em geral. Tome a=1 e b=1. Então
a^{4}+b^{4}=1^{4}+1^{4}=1+1=2,
enquanto
\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}=(1^{2}+1^{2})^{2}=(1+1)^{2}=2^{2}=4.
Como 2\neq4, a igualdade não é verdadeira para esse par (a,b), logo não é uma identidade válida para todos os a,b.

Resposta

Falsa

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