Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a desigualdade racional
. - Pede para resolver essa desigualdade e escrever a solução usando notação de intervalos.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A expressão tem um denominador
, portanto (valor proibido). - A incógnita é
e queremos todos os reais que fazem a desigualdade ser verdadeira.
Passo 2
Estratégia geral (sem multiplicar por expressões de sinal desconhecido): passar tudo para o mesmo lado e reduzir a desigualdade a uma única fração. Assim evitamos o erro de multiplicar pelo denominador sem considerar seu sinal.
Começo subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
Colocar a expressão anterior sobre um único denominador
. Para isso escrevemos
como
e fazemos a diferença:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
, então
Portanto a desigualdade fica
Lembrete: nesta forma toda a informação sobre sinais está concentrada na fração
. Também mantenho em mente que
(denominador nulo).
Passo 4
Para resolver
uso o método de pontos críticos:
-
Zeros do numerador (onde a fração vale
): resolver . Esse ponto faz a fração igual a. Como a desigualdade é estrita , esse ponto NÃO será incluído na solução. -
Zeros do denominador (onde a expressão é indefinida):
dá que também não pode ser incluído.
Os pontos críticos são, então,
e
. Eles dividem a reta em três intervalos onde o sinal da fração é constante:
,
e
.
Passo 5
Determino o sinal da fração em cada intervalo testando um valor de cada intervalo. Para cada teste, verifico o sinal do numerador
e do denominador
.
- Em
. Escolho .
Logo a fração é
dividido por
=
. Resultado: a fração é negativa neste intervalo. Portanto todo
satisfaz a desigualdade.
- Em
. Escolho .
Logo a fração é
dividido por
=
. Resultado: a fração é positiva neste intervalo. Portanto nenhum
desse intervalo satisfaz a desigualdade.
- Em
. Escolho .
Logo a fração é
dividido por
=
. Resultado: a fração é negativa neste intervalo. Portanto todo
satisfaz a desigualdade.
Observação sobre os pontos críticos:
- Em
a fração vale exatamente , e a desigualdade pede , então não incluímos esse ponto. - Em
a expressão não está definida, logo também não pode ser incluída.
Passo 6
Juntando os intervalos onde a fração é negativa e excluindo os pontos críticos, a solução da desigualdade é: