Resolva cada desigualdade. Escreva sua resposta usando a notação de intervalos.
\frac{x-4}{x+3}<3

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a desigualdade racional \dfrac{x-4}{x+3}<3.
  • Pede para resolver essa desigualdade e escrever a solução usando notação de intervalos.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A expressão tem um denominador x+3, portanto x\neq -3 (valor proibido).
  • A incógnita é x e queremos todos os x reais que fazem a desigualdade ser verdadeira.

Passo 2

Estratégia geral (sem multiplicar por expressões de sinal desconhecido): passar tudo para o mesmo lado e reduzir a desigualdade a uma única fração. Assim evitamos o erro de multiplicar pelo denominador sem considerar seu sinal.
Começo subtraindo 3 de ambos os lados:
\frac{x-4}{x+3}-3<0.

Passo 3

Colocar a expressão anterior sobre um único denominador x+3. Para isso escrevemos 3 como \dfrac{3(x+3)}{x+3} e fazemos a diferença:
\frac{x-4}{x+3}-3=\frac{x-4}{x+3}-\frac{3(x+3)}{x+3}=\frac{x-4-3(x+3)}{x+3}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo: 3(x+3)=3x+9, então
x-4-3(x+3)=x-4-(3x+9)=x-4-3x-9=-2x-13.
Portanto a desigualdade fica
\frac{-2x-13}{x+3}<0.
Lembrete: nesta forma toda a informação sobre sinais está concentrada na fração \dfrac{-2x-13}{x+3}. Também mantenho em mente que x\neq -3 (denominador nulo).

Passo 4

Para resolver \dfrac{-2x-13}{x+3}<0 uso o método de pontos críticos:
  • Zeros do numerador (onde a fração vale 0): resolver -2x-13=0.
    -2x-13=0 \quad\Rightarrow\quad -2x=13 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac{13}{2}.
    Esse ponto faz a fração igual a 0. Como a desigualdade é estrita <0, esse ponto NÃO será incluído na solução.
  • Zeros do denominador (onde a expressão é indefinida): x+3=0
    x=-3,
    que também não pode ser incluído.
Os pontos críticos são, então, x=-\dfrac{13}{2} e x=-3. Eles dividem a reta em três intervalos onde o sinal da fração é constante: (-\infty,-\tfrac{13}{2}), (-\tfrac{13}{2},-3) e (-3,\infty).

Passo 5

Determino o sinal da fração em cada intervalo testando um valor de cada intervalo. Para cada teste, verifico o sinal do numerador -2x-13 e do denominador x+3.
  1. Em (-\infty,-\tfrac{13}{2}). Escolho x=-7.
\text{numerador: } -2(-7)-13=14-13=1>0.
\text{denominador: } -7+3=-4<0.
Logo a fração é + dividido por - = -). Resultado: a fração é negativa neste intervalo. Portanto todo (-\infty,-\tfrac{13}{2}) satisfaz a desigualdade.
  1. Em (-\tfrac{13}{2},-3). Escolho x=-5.
\text{numerador: } -2(-5)-13=10-13=-3<0.
\text{denominador: } -5+3=-2<0.
Logo a fração é - dividido por - = +. Resultado: a fração é positiva neste intervalo. Portanto nenhum x desse intervalo satisfaz a desigualdade.
  1. Em (-3,\infty). Escolho x=0.
\text{numerador: } -2(0)-13=-13<0.
\text{denominador: } 0+3=3>0.
Logo a fração é - dividido por + = -). Resultado: a fração é negativa neste intervalo. Portanto todo (-3,\infty) satisfaz a desigualdade.
Observação sobre os pontos críticos:
  • Em x=-\dfrac{13}{2} a fração vale exatamente 0, e a desigualdade pede <0, então não incluímos esse ponto.
  • Em x=-3 a expressão não está definida, logo também não pode ser incluída.

Passo 6

Juntando os intervalos onde a fração é negativa e excluindo os pontos críticos, a solução da desigualdade é:
\left(-\infty,-\frac{13}{2}\right)\cup\left(-3,\infty\right).

Resposta

\left(-\infty,-\dfrac{13}{2}\right)\cup\left(-3,\infty\right)

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