(c) Se a cdot b=a cdot c e a times b=a times c, é verdade que b=c ?

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas três variáveis vetoriais a,b,c em R^3 tais que
acdotb = acdotc e atimesb = atimesc,
segue-se que b=c. O conteúdo principal é álgebra vetorial, usando propriedades de produto escalar e vetorial.

Passo 2

Da igualdade dos produtos escalares temos
acdotb ;=;acdotc Longrightarrow acdot(b-c) = 0
Isto significa que o vetor b-c é perpendicular a a.

Passo 3

Da igualdade dos produtos vetoriais vem
atimesb ;=;atimesc Longrightarrow atimes(b-c) = 0
E sabemos que atimesv=0 implica que v é paralelo a a. Logo b-c é paralelo a a.

Passo 4

Concluímos que b-c é simultaneamente perpendicular e paralelo a a. Se aneq0, o único vetor que satisfaz essas duas condições é o vetor nulo:
b-c = 0 Longrightarrow b=c

Passo 5

No caso degenerado em que a=0, ambas as igualdades
acdotb=0 e
atimesb=0
são triviais para qualquer b e c, de modo que não se impõe b=c.

Resposta

Se aneq0, então de fato b=c. Se a=0, não há garantia de que b=c.

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