Diga se cada uma das igualdades a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
integral(2 x+1)^2 d x=(2 x+1)^33+C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a igualdade
integral(2x + 1)^2 , dx = (2x + 1)^33 + C
é verdadeira ou falsa. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos calcular a integral do lado esquerdo e comparar com o lado direito da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de (2x + 1)^2 , dx. Para isso, podemos usar a regra de integração para potências, que diz que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde u é uma função de x e n neq -1. No nosso caso, u = 2x + 1 e n = 2.

Passo 3

Mas atenção! Como temos u = 2x + 1, precisamos considerar a derivada de u em relação a x, que é du/dx = 2. Isso significa que du = 2 , dx, ou seja, dx = du2.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral (2x + 1)^2 , dx = integral u^2 cdot du2 = 12 integral u^2 , du
Agora, aplicando a regra de integração:
12 integral u^2 , du = 12 cdot u^33 + C = u^36 + C

Passo 5

Voltando para u = 2x + 1, substituímos de volta:
(2x + 1)^36 + C
Comparando com o lado direito da igualdade original, que é (2x + 1)^33 + C, percebemos que nosso resultado tem um denominador diferente.

Resposta

Falsa. A integral de (2x + 1)^2 , dx é (2x + 1)^36 + C, não (2x + 1)^33 + C.

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