Calcule as seguintes integrais.
integral cos theta(tan theta+sec theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \cos \theta (\tan \theta + \sec \theta) $ em relação a $ \theta $. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de simplificação de expressões trigonométricas para facilitar a integração. Vamos precisar lembrar das definições das funções trigonométricas básicas como tangente e secante e como elas se relacionam com o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
cos theta (tan theta + sec theta)
Vamos distribuir o $ \cos \theta $ nas funções dentro do parêntese:
cos theta

Passo 3

Agora, vamos lembrar das definições de tangente e secante em termos de seno e cosseno:
tan theta = sin thetacos theta e sec theta = 1cos theta
Substituindo essas definições na expressão:
cos theta cdot sin thetacos theta + cos theta cdot 1cos theta

Passo 4

Simplificando cada termo:
cos theta cdot sin thetacos theta = sin theta
cos theta cdot 1cos theta = 1
Então, a expressão fica:
sin theta + 1

Passo 5

Agora, nossa integral original se transforma em:
integral (sin theta + 1) , dtheta
Essa é uma integral mais simples que podemos resolver diretamente.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral sin theta , dtheta + integral 1 , dtheta
A integral de $ \sin \theta $ é $ -\cos \theta $ e a integral de $ 1 $ é $ \theta $. Portanto:
sin theta

Resposta

A integral de $ \cos \theta (\tan \theta + \sec \theta) , d\theta $ é:
cos theta (tan theta + sec theta) , dtheta

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