Calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \cos \theta (\tan \theta + \sec \theta) $ em relação a $ \theta $. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de simplificação de expressões trigonométricas para facilitar a integração. Vamos precisar lembrar das definições das funções trigonométricas básicas como tangente e secante e como elas se relacionam com o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Vamos distribuir o $ \cos \theta $ nas funções dentro do parêntese:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das definições de tangente e secante em termos de seno e cosseno:
Substituindo essas definições na expressão:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, nossa integral original se transforma em:
Essa é uma integral mais simples que podemos resolver diretamente.
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
A integral de $ \sin \theta $ é $ -\cos \theta $ e a integral de $ 1 $ é $ \theta $. Portanto:
Resposta
A integral de $ \cos \theta (\tan \theta + \sec \theta) , d\theta $ é: