Diga se cada uma das igualdades a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
integral 3(2 x+1)^2 d x=(2 x+1)^3+C

Passo 1

Então, a gente recebeu uma igualdade para verificar se está certa ou errada:
integral 3(2x + 1)^2 , dx = (2x + 1)^3 + C
Vamos resolver essa integral para ver se o que está do lado direito realmente é igual à integral do lado esquerdo. Para isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais simples. Vamos chamar:
u = 2x + 1
Agora, precisamos encontrar o diferencial de $ u $ em relação a $ x $:
u

Passo 3

Substituindo $ u $ e $ dx $ na integral original:
u

Passo 4

Agora, vamos integrar $ u^{2} $:
u^2

Passo 5

Finalmente, voltamos para a variável original $ x $:
x

Resposta

A igualdade apresentada é falsa. A integral correta é:
integral 3(2x + 1)^2 , dx = (2x + 1)^32 + C
Portanto, o lado direito da igualdade original está faltando a divisão por 2, o que faz a igualdade ser falsa.

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