Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
e^y sin(x) , dx - cos^2(x) , dy = 0
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata ou se precisa de um fator integrante. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e possíveis métodos para torná-las exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
e^y sin(x) , dx = cos^2(x) , dy
Dividindo ambos os lados por cos^2(x), temos:
e^y sin(x)cos^2(x) , dx = dy
Isso nos dá:
dy = e^y tan(x) sec(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis y e x. Queremos deixar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por e^y:
dye^y = tan(x) sec(x) , dx

Passo 4

Integramos ambos os lados para encontrar y. A integral do lado esquerdo é:
integral dye^y = integral e^-y , dy = -e^-y + C
E a integral do lado direito:
integral tan(x) sec(x) , dx
Lembrando que tan(x) = sin(x)cos(x) e sec(x) = 1cos(x), então temos:
integral sin(x)cos^2(x) , dx
Fazendo a substituição u = cos(x), du = -sin(x) , dx, a integral se torna:
-integral 1u^2 , du = 1u + C = sec(x) + C

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados:
-e^-y = sec(x) + C
Podemos rearrumar para resolver y:
e^-y = -sec(x) + C
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-y = ln(-sec(x) + C)
Multiplicando por -1:
y = -ln(-sec(x) + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -ln( C - sec(x) )

Exercícios relacionados