Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos verificar se ela é exata ou se precisa de um fator integrante. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e possíveis métodos para torná-las exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Queremos deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Integramos ambos os lados para encontrar
. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito:
Lembrando que
e
, então temos:
Fazendo a substituição
,
, a integral se torna:
Passo 5
Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos rearrumar para resolver
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: