Representar cada um dos valores abaixo, de forma exata, nos sistemas de ponto flutuante
e
. Caso não seja possível representar o número, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta tá pedindo. Queremos representar o número 100 no sistema de ponto flutuante de duas formas diferentes: uma em base 10 com 4 dígitos na mantissa e expoente variando de -5 a +5, e outra em base 2 com 7 dígitos na mantissa e expoente de -3 a +3. Para isso, vamos precisar entender como funciona a representação de números em ponto flutuante e verificar se 100 cabe nas especificações de cada sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o sistema $ F(10,4,-5,5) $, que usa a base 10, tem 4 dígitos na mantissa e o expoente pode variar de -5 a +5. Para representar 100 nesse sistema, precisamos escrevê-lo na forma normalizada de ponto flutuante, que é:
Onde $ d_1 $ é diferente de zero, e $ e $ está entre -5 e +5.
Passo 3
Vamos normalizar o número 100. Em base 10, 100 pode ser escrito como:
Aqui, a mantissa é 1.000 (com 4 dígitos) e o expoente é 2. Agora, vamos verificar se o expoente 2 está dentro do intervalo permitido de -5 a +5. Como 2 está dentro desse intervalo, conseguimos representar 100 exatamente nesse sistema.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo sistema $ F(2,7,-3,3) $, que usa a base 2, tem 7 dígitos na mantissa e o expoente pode variar de -3 a +3. Primeiro, precisamos converter 100 para a base 2.
100 em binário é:
Para normalizar, colocamos o número na forma:
No caso de 100, temos:
Passo 5
Agora, observamos que o expoente é 6. Vamos verificar se esse valor está dentro do intervalo permitido de -3 a +3. Como 6 está fora desse intervalo, não é possível representar exatamente o número 100 nesse sistema de ponto flutuante.
Resposta
No sistema $ F(10,4,-5,5) $, o número 100 é representado exatamente como $ 1.000 \times 10^{2} $. Já no sistema $ F(2,7,-3,3) $, não é possível representar 100 de forma exata porque o expoente necessário (6) está fora do intervalo permitido (-3 a +3).