Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3^{k}}{\left(1+4^{k}\right)};

Passo 1

O enunciado pede que digamos se a série
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3^{k}}{1+4^{k}}
converge ou diverge, e que justifiquemos a resposta. Informações dadas que são relevantes e claras:
  • A série é a soma de termos com índice k variando de 0 até +\infty.
  • O termo geral é \displaystyle a_k=\frac{3^{k}}{1+4^{k}}.
  • Não há outras condições extras no enunciado.
O objetivo é determinar convergência absoluta (neste caso basta falar em convergência, pois os termos são não-negativos) e justificar com um teste adequado.

Passo 2

Observação sobre os termos: para todo k\ge 0 temos 3^{k}\ge 0 e 1+4^{k}>0, logo a_k\ge 0. Isso é útil porque nos permite usar testes de comparação para séries de termos não-negativos (ou seja, se compararmos com outra série com termos não-negativos, podemos concluir convergência a partir da convergência da comparadora).
Explicando o teste de comparação usado (forma simples):
Sejam (a_k) e (b_k) sequências não-negativas com 0\le a_k\le b_k para todo k suficientemente grande. Se \sum b_k converge, então \sum a_k também converge. A ideia é que somar algo menor que uma soma finita também dá um valor finito.

Passo 3

Construa uma desigualdade conveniente entre a_k e uma série geométrica conhecida.
Note que, para todo k\ge 0,
1+4^{k}\ge 4^{k}.
Dividindo por 1+4^{k} (positivo) e reorganizando, obtemos
\frac{3^{k}}{1+4^{k}} \le \frac{3^{k}}{4^{k}}.
Ou seja,
a_k=\frac{3^{k}}{1+4^{k}} \le \left(\frac{3}{4}\right)^{k}
para todo k\ge 0. Expliquei a desigualdade passo a passo: como 1+4^k é pelo menos 4^k, dividir 3^k por 1+4^k dá no máximo dividir por 4^k, que é (3/4)^k.

Passo 4

Estude a série geométrica de comparação. A série geométrica
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}
converge se, e só se, |r|<1. Além disso, quando |r|<1, a soma é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}.
Breve justificativa: os somas parciais são S_n=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}. Se |r|<1, então r^{n+1}\to 0 quando n\to\infty, dando S_n\to \frac{1}{1-r}.
No nosso caso, r=\frac{3}{4} satisfaz |r|<1, logo
\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{k}
é uma série geométrica convergente (soma igual a \displaystyle \frac{1}{1-3/4}=4, embora só precisemos da convergência).

Passo 5

Aplicando o teste de comparação: como para todo k\ge 0 temos
0\le \frac{3^{k}}{1+4^{k}} \le \left(\frac{3}{4}\right)^{k},
e já sabemos que \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{k} converge, então, pelo teste de comparação, a série original
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{3^{k}}{1+4^{k}}
também converge.

Passo 6

Comentário final e motivacional (rápido): a técnica usada foi simples e muito útil em provas rápidas — sempre que o termo geral tem potências, compare com uma série geométrica tirando o fator dominante no denominador. Boa! Dá para resolver isso com pouca conta e sem calculadora.

Resposta

Converge.

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