Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
;
Passo 1
O enunciado pede que digamos se a série
converge ou diverge, e que justifiquemos a resposta. Informações dadas que são relevantes e claras:
- A série é a soma de termos com índice
variando de até . - O termo geral é
. - Não há outras condições extras no enunciado.
O objetivo é determinar convergência absoluta (neste caso basta falar em convergência, pois os termos são não-negativos) e justificar com um teste adequado.
Passo 2
Observação sobre os termos: para todo
temos
e
, logo
. Isso é útil porque nos permite usar testes de comparação para séries de termos não-negativos (ou seja, se compararmos com outra série com termos não-negativos, podemos concluir convergência a partir da convergência da comparadora).
Explicando o teste de comparação usado (forma simples):
Sejam e
sequências não-negativas com
para todo
suficientemente grande. Se
converge, então
também converge. A ideia é que somar algo menor que uma soma finita também dá um valor finito.
Sejam
Passo 3
Construa uma desigualdade conveniente entre
e uma série geométrica conhecida.
Note que, para todo
,
Dividindo por
(positivo) e reorganizando, obtemos
Ou seja,
para todo
. Expliquei a desigualdade passo a passo: como
é pelo menos
, dividir
por
dá no máximo dividir por
, que é
.
Passo 4
Estude a série geométrica de comparação. A série geométrica
converge se, e só se,
. Além disso, quando
, a soma é
Breve justificativa: os somas parciais são
. Se
, então
quando
, dando
.
No nosso caso,
satisfaz
, logo
é uma série geométrica convergente (soma igual a
, embora só precisemos da convergência).
Passo 5
Aplicando o teste de comparação: como para todo
temos
e já sabemos que
converge, então, pelo teste de comparação, a série original
também converge.
Passo 6
Comentário final e motivacional (rápido): a técnica usada foi simples e muito útil em provas rápidas — sempre que o termo geral tem potências, compare com uma série geométrica tirando o fator dominante no denominador. Boa! Dá para resolver isso com pouca conta e sem calculadora.
Resposta
Converge.