Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a série
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informação importante dada: os termos gerais são positivos para todo
, pois
e
. A tarefa é decidir convergência absoluta/condicional ou divergência e explicar passo a passo.
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão (ratio test) porque é direto para séries envolvendo fatores exponenciais do tipo
. Racional: com termos positivos e uma potência
no denominador, a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que
, o que garante convergência. Vou explicar o teste antes de aplicar, para você entender bem.
Passo 3
Enunciado do Teste da Razão (versão para termos positivos), explicado de forma simples:
Sejam os termos de uma série. Defina
Sejam
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquié apenas o termo genérico da série; no nosso caso vamos definir explicitamente e calcular .
Passo 4
Definimos o termo geral
Então
A razão entre termos sucessivos é
Passo 5
Agora expandimos
para simplificar:
Substituindo:
Passo 6
Vamos calcular o limite quando
. Para a razão de dois polinômios do mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm termo dominante
com coeficiente
. Portanto
Assim
Passo 7
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge. Além disso, os termos são todos positivos, então a convergência é automática de tipo absoluto (não faz sentido falar em “condicional” para série de termos positivos — convergência simples já é absoluta). Intuição curta: a potência exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio
, por isso os termos caem rápido o suficiente para somarem um valor finito.
Passo 8
Para reforçar: outra maneira rápida seria o Teste da Raiz. Note que
e
, logo
, implicando convergência também pelo Teste da Raiz. Ambos os testes dão a mesma conclusão e são fáceis de calcular aqui.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).