Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k^{3}+4}{2^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{3}+4}{2^{k}}
converge ou diverge, e justificar a resposta. Informação importante dada: os termos gerais são positivos para todo k\ge1, pois k^{3}+4>0 e 2^{k}>0. A tarefa é decidir convergência absoluta/condicional ou divergência e explicar passo a passo.

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (ratio test) porque é direto para séries envolvendo fatores exponenciais do tipo 2^{k}. Racional: com termos positivos e uma potência 2^{k} no denominador, a razão entre termos sucessivos tende a um número menor que 1, o que garante convergência. Vou explicar o teste antes de aplicar, para você entender bem.

Passo 3

Enunciado do Teste da Razão (versão para termos positivos), explicado de forma simples:
Sejam a_k>0 os termos de uma série. Defina
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}.
  • Se L<1, a série \sum a_k converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui a_k é apenas o termo genérico da série; no nosso caso vamos definir explicitamente e calcular L.

Passo 4

Definimos o termo geral
a_k=\frac{k^{3}+4}{2^{k}}.
Então
a_{k+1}=\frac{(k+1)^{3}+4}{2^{k+1}}.
A razão entre termos sucessivos é
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\dfrac{(k+1)^{3}+4}{2^{k+1}}}{\dfrac{k^{3}+4}{2^{k}}} =\frac{(k+1)^{3}+4}{k^{3}+4}\cdot\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora expandimos (k+1)^{3} para simplificar:
(k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1.
Substituindo:
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{k^{3}+3k^{2}+3k+1+4}{k^{3}+4}\cdot\frac{1}{2} =\frac{k^{3}+3k^{2}+3k+5}{k^{3}+4}\cdot\frac{1}{2}.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando k\to\infty. Para a razão de dois polinômios do mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos numerador e denominador têm termo dominante k^{3} com coeficiente 1. Portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}+3k^{2}+3k+5}{k^{3}+4}=1.
Assim
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Como L=\tfrac{1}{2}<1, pelo Teste da Razão a série \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge. Além disso, os termos são todos positivos, então a convergência é automática de tipo absoluto (não faz sentido falar em “condicional” para série de termos positivos — convergência simples já é absoluta). Intuição curta: a potência exponencial 2^{k} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio k^{3}, por isso os termos caem rápido o suficiente para somarem um valor finito.

Passo 8

Para reforçar: outra maneira rápida seria o Teste da Raiz. Note que
\sqrt[k]{a_k}=\frac{(k^{3}+4)^{1/k}}{2}
e \lim_{k\to\infty}(k^{3}+4)^{1/k}=1, logo \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\tfrac{1}{2}<1, implicando convergência também pelo Teste da Raiz. Ambos os testes dão a mesma conclusão e são fáceis de calcular aqui.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{3}+4}{2^{k}} converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados