Exercício 2.4.6. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
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Passo 1
O enunciado dá a série com termos positivos
e pede para estudar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
- O somatório começa em
. - Cada termo é
, que é positivo para todo . - A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Intuição assintótica (por que olhar o termo geral): quando
é grande, os termos de maior grau dominam numerador e denominador. Olhando os termos de maior ordem temos numerador com ordem
e denominador com ordem
, então espera-se que
quando
. Isso sugere comparar com a série
.
Pequena aula sobre séries-p (ferramenta usada): a série
converge se, e somente se,
. No caso
temos convergência (é a famosa série de Basel até uma constante). Uma justificativa rápida: usando o teste da integral,
converge exatamente quando
. Portanto
é uma série convergente.
Passo 3
Apresento o Teste da Comparação Limite (limit comparison test) que vamos usar: sejam
e
. Se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
Aqui tomo
e
. Vamos calcular o limite
Passo 4
Cálculo explícito do limite (passo a passo): fatoramos
no numerador e denominador para ver o comportamento quando
:
Agora, tomando o limite quando
,
Portanto o limite
existe e vale
, que é positivo e finito.
Pelo Teste da Comparação Limite, como
converge (série-p com
), segue que
também converge.
Passo 5
Alternativa mais direta (opcional, didática): podemos também usar comparação direta. Note que para
temos
porque
para
. Assim
Como
converge, pelo teste de comparação direta com termos positivos concluímos também que
converge. Essa via dispensa o cálculo do limite e é bem prática em prova.
Passo 6
Conclusão final e motivação rápida: os termos do somatório têm comportamento assintótico parecido com uma constante vezes
, e como
converge, a nossa série converge por comparação (direta ou por limite). Boa notícia: a convergência é absoluta porque todos os termos são não-negativos (em séries de termos positivos “convergência” já implica “convergência absoluta”).
Resposta
A série converge.