Exercício 2.4.6. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k}{2 k^{3}-k+1};

Passo 1

O enunciado dá a série com termos positivos
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k}{2 k^{3}-k+1}
e pede para estudar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
  • O somatório começa em k=2.
  • Cada termo é a_k=\dfrac{k}{2 k^{3}-k+1}, que é positivo para todo k\ge2.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Intuição assintótica (por que olhar o termo geral): quando k é grande, os termos de maior grau dominam numerador e denominador. Olhando os termos de maior ordem temos numerador com ordem k e denominador com ordem k^{3}, então espera-se que
a_k=\frac{k}{2k^{3}-k+1}\sim \frac{k}{2k^{3}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k^{2}}
quando k\to\infty. Isso sugere comparar com a série \sum \dfrac{1}{k^{2}}.
Pequena aula sobre séries-p (ferramenta usada): a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No caso p=2 temos convergência (é a famosa série de Basel até uma constante). Uma justificativa rápida: usando o teste da integral, \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx converge exatamente quando p>1. Portanto \sum \dfrac{1}{k^{2}} é uma série convergente.

Passo 3

Apresento o Teste da Comparação Limite (limit comparison test) que vamos usar: sejam a_k\ge0 e b_k>0. Se
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}
existe e 0<L<\infty, então \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem).
Aqui tomo a_k=\dfrac{k}{2k^{3}-k+1} e b_k=\dfrac{1}{k^{2}}. Vamos calcular o limite
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k}{2k^{3}-k+1}}{\dfrac{1}{k^{2}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{2k^{3}-k+1}.

Passo 4

Cálculo explícito do limite (passo a passo): fatoramos k^{3} no numerador e denominador para ver o comportamento quando k\to\infty:
\frac{k^{3}}{2k^{3}-k+1} =\frac{k^{3}}{k^{3}\left(2-\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{3}}\right)} =\frac{1}{2-\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{3}}}.
Agora, tomando o limite quando k\to\infty,
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{2-\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{3}}}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite L existe e vale L=\dfrac{1}{2}, que é positivo e finito.
Pelo Teste da Comparação Limite, como \sum b_k=\sum \dfrac{1}{k^{2}} converge (série-p com p=2>1), segue que \sum a_k também converge.

Passo 5

Alternativa mais direta (opcional, didática): podemos também usar comparação direta. Note que para k\ge2 temos
2k^{3}-k+1 \ge k^{3},
porque 2k^{3}-k+1 - k^{3}=k^{3}-k+1\ge0 para k\ge2. Assim
a_k=\frac{k}{2k^{3}-k+1}\le\frac{k}{k^{3}}=\frac{1}{k^{2}}.
Como \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge, pelo teste de comparação direta com termos positivos concluímos também que \sum a_k converge. Essa via dispensa o cálculo do limite e é bem prática em prova.

Passo 6

Conclusão final e motivação rápida: os termos do somatório têm comportamento assintótico parecido com uma constante vezes \dfrac{1}{k^{2}}, e como \sum \dfrac{1}{k^{2}} converge, a nossa série converge por comparação (direta ou por limite). Boa notícia: a convergência é absoluta porque todos os termos são não-negativos (em séries de termos positivos “convergência” já implica “convergência absoluta”).

Resposta

A série converge.

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