Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
\sum_{k=1}^{+\infty} k \alpha^{k} com \alpha>0;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{+\infty} k \alpha^{k}
converge ou diverge, dado que \alpha>0.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é \sum_{k=1}^{\infty} a_k com a_k = k \alpha^{k}.\n
  • O parâmetro \alpha é um número real positivo ( \alpha>0).\n
    Pergunta clara: para que valores de \alpha>0 a série converge e para que valores diverge? (Se convergir, é útil saber se é convergência absoluta e, quando possível, o valor da soma.)

Passo 2

Vamos lembrar um teste simples e muito útil: o teste da razão (d’Alembert). Vou explicar ele direitinho.\n
Enunciado do teste da razão: seja uma série com termos positivos \sum a_k (ou termos não necessariamente positivos, mas tomamos valores absolutos). Defina
L = \lim_{k\to\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k},
se esse limite existe. Então:
  • Se L<1, a série converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não diz nada).\n
    Intuição rápida: a razão entre termos sucessivos mede se os termos estão diminuindo geometricamente; se a razão limite é menor que 1, os termos caem geometricamente rápido e a série se comporta como uma série geométrica convergente.

Passo 3

Aplicando o teste da razão à nossa série com a_k = k \alpha^{k}. Calculo a razão
\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)\alpha^{k+1}}{k\alpha^{k}}=\frac{k+1}{k}\,\alpha.
Agora tomo o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\,\alpha=\left(\lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{k}\right)\alpha=1\cdot\alpha=\alpha.
Portanto o limite da razão é L=\alpha.

Passo 4

Interpreto o resultado do teste da razão:
  • Se \alpha<1, então L=\alpha<1 e, pelo teste da razão, a série converge.
  • Se \alpha>1, então L=\alpha>1 e, pelo teste da razão, a série diverge.
  • Se \alpha=1, então L=1 e o teste da razão não decide — preciso analisar esse caso separadamente.

Passo 5

Trato o caso \alpha=1 separadamente. Quando \alpha=1 os termos são a_k=k. Note que
\lim_{k\to\infty} a_k=\lim_{k\to\infty} k=+\infty\neq 0.
Um critério básico e obrigatório: se os termos a_k de uma série não tendem a zero, a série \sum a_k diverge. Aqui os termos não tendem a zero (pelo contrário, crescem), logo a série diverge quando \alpha=1.

Passo 6

Trato também, por completude, o caso \alpha>1 com um argumento alternativo (além do teste da razão): se \alpha>1 então \alpha^{k}\to+\infty quando k\to\infty, e portanto a_k=k\alpha^{k}\to+\infty. Em particular a_k\not\to0, logo a série diverge. Isso confirma o que já dissemos pelo teste da razão.

Passo 7

Agora faço um complemento útil: quando \alpha satisfaz 0<\alpha<1 a série não só converge, como tem soma finita que podemos calcular. Vou mostrar como obter a soma \sum_{k=1}^{\infty} k \alpha^{k}.\n
Lembramos a soma da série geométrica (válida para |\alpha|<1):
\sum_{k=0}^{\infty} \alpha^{k}=\frac{1}{1-\alpha}.
Essa é uma série de potências em \alpha; dentro do raio de convergência |\alpha|<1 podemos diferenciar termo a termo. Diferenciando ambos os lados em relação a \alpha temos
\sum_{k=1}^{\infty} k \alpha^{k-1} = \frac{d}{d\alpha}\left(\frac{1}{1-\alpha}\right)=\frac{1}{(1-\alpha)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \alpha obtemos
\sum_{k=1}^{\infty} k \alpha^{k} = \frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}}.
Logo, para 0<\alpha<1 a série converge e sua soma é \dfrac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}}.\n
Obs.: a diferenciação termo a termo é justificada porque se trata de uma série de potências e estamos dentro do raio de convergência.

Passo 8

Recapitulando de forma clara e direta (para gravar bem na cabeça na hora da prova): o teste da razão foi a ferramenta principal; ele deu o limite igual a \alpha, então a convergência depende de \alpha<1. Para \alpha=1 e \alpha>1 usamos o critério dos termos não nulos para garantir divergência. Para 0<\alpha<1 ainda podemos apresentar a soma fechada usando diferenciação da série geométrica.

Resposta

Converge para 0<\alpha<1; nesse caso
\sum_{k=1}^{\infty} k \alpha^{k} = \frac{\alpha}{(1-\alpha)^{2}}.
Diverge para \alpha\ge 1.

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