Diga se cada série a seguir converge ou diverge. Justifique.
com
;
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge, dado que
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A série é
com .\n - O parâmetro
é um número real positivo ( ).\n
Pergunta clara: para que valores dea série converge e para que valores diverge? (Se convergir, é útil saber se é convergência absoluta e, quando possível, o valor da soma.)
Passo 2
Vamos lembrar um teste simples e muito útil: o teste da razão (d’Alembert). Vou explicar ele direitinho.\n
Enunciado do teste da razão: seja uma série com termos positivos (ou termos não necessariamente positivos, mas tomamos valores absolutos). Defina
Enunciado do teste da razão: seja uma série com termos positivos
se esse limite existe. Então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não diz nada).\n
Intuição rápida: a razão entre termos sucessivos mede se os termos estão diminuindo geometricamente; se a razão limite é menor que 1, os termos caem geometricamente rápido e a série se comporta como uma série geométrica convergente.
Passo 3
Aplicando o teste da razão à nossa série com
. Calculo a razão
Agora tomo o limite quando
:
Portanto o limite da razão é
.
Passo 4
Interpreto o resultado do teste da razão:
- Se
, então e, pelo teste da razão, a série converge. - Se
, então e, pelo teste da razão, a série diverge. - Se
, então e o teste da razão não decide — preciso analisar esse caso separadamente.
Passo 5
Trato o caso
separadamente. Quando
os termos são
. Note que
Um critério básico e obrigatório: se os termos
de uma série não tendem a zero, a série
diverge. Aqui os termos não tendem a zero (pelo contrário, crescem), logo a série diverge quando
.
Passo 6
Trato também, por completude, o caso
com um argumento alternativo (além do teste da razão): se
então
quando
, e portanto
. Em particular
, logo a série diverge. Isso confirma o que já dissemos pelo teste da razão.
Passo 7
Agora faço um complemento útil: quando
satisfaz
a série não só converge, como tem soma finita que podemos calcular. Vou mostrar como obter a soma
.\n
Lembramos a soma da série geométrica (válida para ):
Lembramos a soma da série geométrica (válida para
Essa é uma série de potências em
; dentro do raio de convergência
podemos diferenciar termo a termo. Diferenciando ambos os lados em relação a
temos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Logo, para
a série converge e sua soma é
.\n
Obs.: a diferenciação termo a termo é justificada porque se trata de uma série de potências e estamos dentro do raio de convergência.
Obs.: a diferenciação termo a termo é justificada porque se trata de uma série de potências e estamos dentro do raio de convergência.
Passo 8
Recapitulando de forma clara e direta (para gravar bem na cabeça na hora da prova): o teste da razão foi a ferramenta principal; ele deu o limite igual a
, então a convergência depende de
. Para
e
usamos o critério dos termos não nulos para garantir divergência. Para
ainda podemos apresentar a soma fechada usando diferenciação da série geométrica.
Resposta
Converge para
; nesse caso
Diverge para
.