Diga se o conjunto A dos vetores abaixo é linearmente independente ou nâo, justificando sua resposta:
A=\{(1,3,1),(2,2,-2),(-1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = \{(1,3,1),\;(2,2,-2),\;(-1,1,1)\}
é linearmente independente em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério do determinante: três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes se, e somente se, o determinante da matriz formada por eles (como colunas) for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são os vetores de A:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\[6pt] 3 & 2 & 1 \\[6pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 3

Calculamos o determinante de M por regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
\det(M) = 1\cdot\bigl(2\cdot1 - 1\cdot(-2)\bigr) - 2\cdot\bigl(3\cdot1 - 1\cdot1\bigr) + (-1)\cdot\bigl(3\cdot(-2) - 2\cdot1\bigr).
Agora simplificamos:
1\cdot(2 + 2) - 2\cdot(3 - 1) -1\cdot(-6 -2) = 1\cdot4 - 2\cdot2 -1\cdot(-8) = 4 - 4 + 8 = 8.

Passo 4

Como \det(M)=8\neq0, concluímos que os vetores de A são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto A é linearmente independente.

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