Diga se os conjuntos abaíxo săo subespaços de
com as operações usuris do
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pergunta se
é subespaço de
com as operações usuais. Para isso, usamos o critério: um subconjunto de espaço vetorial é subespaço se e somente se contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro a presença do vetor zero e a multiplicação por escalar. O vetor zero em
é
, e de fato
logo
. Agora, tome um vetor qualquer
e um escalar
. Como
, temos
portanto
. Assim,
contém o zero e é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 3
Falta verificar o fechamento sob soma. Considere os vetores
pois em cada um
. A soma é
Mas em
temos
logo
. Isso mostra que
não é fechado sob soma.