Diga se os conjuntos abaíxo săo subespaços de
\mathbf{R}^{3} com as operações usuris do \mathbb{R}^{3}.
B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x y=0\right\}

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
B = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x\,y = 0\}
e pergunta se B é subespaço de \mathbb{R}^3 com as operações usuais. Para isso, usamos o critério: um subconjunto de espaço vetorial é subespaço se e somente se contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro a presença do vetor zero e a multiplicação por escalar. O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0), e de fato
0\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)\in B. Agora, tome um vetor qualquer (x,y,z)\in B e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Como x\,y=0, temos
(\lambda x)\,(\lambda y) = \lambda^2\,(x\,y) = \lambda^2\cdot 0 = 0,
portanto (\lambda x,\lambda y,\lambda z)\in B. Assim, B contém o zero e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Falta verificar o fechamento sob soma. Considere os vetores
u = (1,0,0)\in B \quad\text{e}\quad v = (0,1,0)\in B,
pois em cada um x\,y=0. A soma é
u+v = (1,0,0)+(0,1,0) = (1,1,0).
Mas em (1,1,0) temos
1\cdot 1 = 1 \neq 0,
logo (1,1,0)\notin B. Isso mostra que B não é fechado sob soma.

Resposta

B não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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