Em V=P_{2}(\mathbb{R}), considere as bases \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \beta=\left\{(x+1)^{2}, x+1,1\right\}.
Usando a matriz de mudança de base adequada, determine \left[-x^{2}+\left.2(x-1)\right|_{\beta}\right..

Passo 1

O enunciado pede o vetor de coordenadas em relação à base \beta=\{(x+1)^{2},\,x+1,\,1\} do polinômio
p(x)=-x^{2}+2(x-1)\,,
onde o espaço é V=P_{2}(\mathbb{R}) e a base canônica (que chamamos de E) é \{x^{2},x,1\}.
Conteúdo: mudança de base em espaço vetorial de dimensão 3. Vamos usar a matriz de transição de \beta para E e depois inverter essa matriz para encontrar [p]_{\beta}.

Passo 2

Primeiro escrevemos p(x) na base canônica E.
p(x)=-x^{2}+2(x-1)=-x^{2}+2x-2.
Logo, em coordenadas na base E temos
[p]_{E}=\begin{pmatrix}-1\\[6pt]2\\[3pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Construímos a matriz de mudança de base P de \beta para E. As colunas de P são as coordenadas, na base E, dos vetores de \beta:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\mapsto\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad x+1=0\cdot x^{2}+1\cdot x+1\mapsto\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad 1\mapsto\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e vale a relação [p]_{E}=P\,[p]_{\beta}.

Passo 4

Para obter [p]_{\beta} resolvemos
P\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações:
  1. a=-1,
  2. 2a+b=2\implies2(-1)+b=2\implies b=4,
  3. a+b+c=-2\implies(-1)+4+c=-2\implies c=-5.

Resposta

[p]_{\beta} =\begin{pmatrix}-1\\[3pt]4\\[3pt]-5\end{pmatrix}.]

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