Sejam
um espaço vetorial e
. Diga se sào verdadeiras ou falsas as expressions abaiko justificando sua resposta.
(a) ( ) Se
é linearmente independente e
então
é linearmente dependente.
(b) ( ) Se
élinearmente independente e
então
é linearmente independente.
(a) ( ) Se
(b) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre independência linear em um espaço vetorial
. Vamos usar a definição de conjunto linearmente independente: um conjunto
é linearmente independente se, para qualquer combinação finita
as únicas soluções são
. Também usaremos as propriedades: (i) todo subconjunto de conjunto linearmente independente é ele mesmo linearmente independente; (ii) um conjunto que contém um conjunto independente pode tornar‐se dependente ao acrescentar vetores.
Passo 2
Analisando (a): “Se
é linearmente independente e
então
é linearmente dependente.”
Pela propriedade (i), qualquer subconjunto de um conjunto independente continua independente. Logo, com
independente implica que
também é independente. A afirmação diz justamente o contrário (que
seria dependente), então é falsa.
Pela propriedade (i), qualquer subconjunto de um conjunto independente continua independente. Logo,
Passo 3
Analisando (b): “Se
é linearmente independente e
então
é linearmente independente.”
Não há garantia de independência ao adicionar vetores a um conjunto independente. Por exemplo, em , tome
Não há garantia de independência ao adicionar vetores a um conjunto independente. Por exemplo, em
Aqui
é independente, mas em
vale
com coeficientes não todos nulos, logo
é dependente. Portanto a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(b) Falsa.