Sejam V um espaço vetorial e A, B C V. Diga se sào verdadeiras ou falsas as expressions abaiko justificando sua resposta.
(a) ( ) Se A é linearmente independente e B \subset A então B é linearmente dependente.
(b) ( ) Se A élinearmente independente e B \supset A então B é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar duas afirmações sobre independência linear em um espaço vetorial V. Vamos usar a definição de conjunto linearmente independente: um conjunto X\subset V é linearmente independente se, para qualquer combinação finita
\sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i = 0,\quad x_i\in X,
as únicas soluções são \alpha_1=\cdots=\alpha_n=0. Também usaremos as propriedades: (i) todo subconjunto de conjunto linearmente independente é ele mesmo linearmente independente; (ii) um conjunto que contém um conjunto independente pode tornar‐se dependente ao acrescentar vetores.

Passo 2

Analisando (a): “Se A é linearmente independente e B\subset A então B é linearmente dependente.”
Pela propriedade (i), qualquer subconjunto de um conjunto independente continua independente. Logo, B\subset A com A independente implica que B também é independente. A afirmação diz justamente o contrário (que B seria dependente), então é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Se A é linearmente independente e B\supset A então B é linearmente independente.”
Não há garantia de independência ao adicionar vetores a um conjunto independente. Por exemplo, em V=\mathbb{R}^2, tome
A=\{\,e_1\},\quad B=\{\,e_1,2e_1\}.
Aqui A é independente, mas em B vale
1\cdot e_1 +(-\tfrac12)\cdot(2e_1)=0
com coeficientes não todos nulos, logo B é dependente. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.

Exercícios relacionados