Diga se convergem ou divergem as séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada a partir de k=3, dada por
. O conteúdo da matéria é o teste de Leibniz para séries alternadas, além de checar convergência absoluta via teste da integral ou comparação.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo
. Primeiro verificamos que
para todo
. Em seguida observamos que
, pois
. Para monotonicidade, consideramos a função
e notamos que sua derivada é
negativa para
, logo
é decrescente a partir de
.
Passo 3
Como
é positiva, monótona decrescente e tende a zero, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas e concluímos que
converge.
Passo 4
Para verificar convergência absoluta, analisamos
. Usando o teste da integral, com
obtemos que a série diverge em valor absoluto.
Passo 5
Portanto a série converge, mas não absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.
Resposta
Converge condicionalmente.