Diga se convergem ou divergem as séries:
sumk=3^+infty(-1)^k+1 ln (k)k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada a partir de k=3, dada por sumk=3^+infty(-1)^k+1ln(k)k. O conteúdo da matéria é o teste de Leibniz para séries alternadas, além de checar convergência absoluta via teste da integral ou comparação.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo ak=ln(k)k. Primeiro verificamos que ak>0 para todo k>=3. Em seguida observamos que limkto+inftyak=0, pois ln(k)/kto0. Para monotonicidade, consideramos a função f(x)=ln(x)x e notamos que sua derivada é f'(x)=1-ln(x)x^2, negativa para x>e, logo ak é decrescente a partir de k=3.

Passo 3

Como (ak) é positiva, monótona decrescente e tende a zero, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas e concluímos que sumk=3^+infty(-1)^k+1ak converge.

Passo 4

Para verificar convergência absoluta, analisamos sumk=3^+inftyak=sumk=3^+inftyln(k)k. Usando o teste da integral, com integral3^+inftyln(x)x,dx=limtto+infty(ln(x))^22|3^t=+infty, obtemos que a série diverge em valor absoluto.

Passo 5

Portanto a série converge, mas não absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.

Resposta

Converge condicionalmente.

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