Use os critérios da razão ou da raiz e determine se as séries abaixo convergem
sums=1^+infty s^3+42^s

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sums=1^+infty s^3+42^s usando o critério da razão (ou da raiz). Vamos precisar usar a definição do critério da razão, que compara as+1/as.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como as = s^3+42^s, pois é isso que vai aparecer no critério da razão.

Passo 3

Aplicamos o critério da razão, calculando o quociente entre termos consecutivos:
as+1as = (s+1)^3 + 42^s+1 cdot 2^ss^3 + 4 = (s+1)^3 + 4(s^3 + 4) cdot 2

Passo 4

Agora avaliamos o limite desse quociente quando stoinfty:
limstoinfty (s+1)^3 + 4(s^3 + 4) cdot 2 = 12, pois, para grandes s, o termo de maior grau domina e (s+1)^3/s^3to1.

Passo 5

Como o limite do quociente é 1/2<1, concluímos pelo critério da razão que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da razão, pois o limite do quociente entre termos consecutivos é 1/2<1.

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