Use a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
lim x 0 x+sin (2 x)x-sin (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0x+sin(2x)x-sin(2x) usando a regra de L’Hôpital. Esse conteúdo envolve limites que resultam na forma indeterminada 0/0, e por isso vamos precisar derivar numerador e denominador.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente, o numerador fica 0+sin(0)=0 e o denominador fica 0-sin(0)=0. Como obtemos 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que se lim f(x)/g(x) é 0/0 então limxto af(x)g(x)=limxto af'(x)g'(x), desde que esse novo limite exista.

Passo 3

Derivamos o numerador e o denominador:
Para f(x)=x+sin(2x) temos
f'(x)=1+2cos(2x)
Para g(x)=x-sin(2x) temos
g'(x)=1-2cos(2x)

Passo 4

Agora avaliamos limxto0f'(x)g'(x). Substituindo x=0:
Numerador: 1+2cos(2cdot0)=1+2cdot1=3
Denominador: 1-2cos(0)=1-2cdot1=-1
Logo, o limite vale 3/(-1)=-3.

Resposta

-3

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