Diga qual a diferença entre relação e função?

Passo 1

O enunciado pede para distinguir os conceitos de relação e de função dentro da Teoria de Conjuntos. Para isso vamos:
– Definir primeiro o que é uma relação entre dois conjuntos.
– Em seguida, definir o que é uma função como caso particular de relação.
– Finalmente, apontar exatamente onde eles diferem e dar um exemplo que ilustre a diferença.

Passo 2

Definimos uma relação R entre dois conjuntos A e B como qualquer subconjunto do produto cartesiano A\times B. Em outras palavras,
R \subseteq A \times B,
e cada elemento de R é um par ordenado (a,b) com a\in A e b\in B. Não há restrição sobre quantos pares com o mesmo primeiro componente podem existir, nem é exigido que todos os elementos de A apareçam em algum par de R.

Passo 3

Uma função f\colon A \to B é uma relação especial que satisfaz duas condições fundamentais:
  1. Para todo a\in A existe pelo menos um b\in B tal que (a,b)\in f.
  2. Essa correspondência é única: se (a,b_1)\in f e (a,b_2)\in f, então b_1=b_2.
    Em símbolos,
\forall a\in A\\ \bigl(\exists! \, b\in B\text{ com }(a,b)\in f\bigr).

Passo 4

Comparando diretamente:
– Uma relação pode associar um mesmo a\in A a nenhum, a um ou a vários b\in B.
– Uma função exige que cada a\in A apareça exatamente numa e somente numa associação (a,b).
Portanto, toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função, pois ela pode violar a existência única de imagem.

Passo 5

Exemplo concreto: seja A=\{1,2\} e B=\{x,y\}.
A relação
R = \{(1,x),(1,y),(2,x)\}
é válida como relação, pois é subconjunto de A\times B. Porém, não é função, pois o elemento 1 está associado a dois valores distintos x e y, violando a unicidade.
Já a função
f = \{(1,x),(2,y)\}
satisfaz a unicidade e a cobertura de todo A, portanto é uma função de A em B.

Resposta

Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A\times B, sem restrições de cobertura ou unicidade.
Uma função de A em B é uma relação que atribui a cada a\in A exatamente um b\in B.

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