Diga qual a diferença entre relação e função?
Passo 1
O enunciado pede para distinguir os conceitos de relação e de função dentro da Teoria de Conjuntos. Para isso vamos:
– Definir primeiro o que é uma relação entre dois conjuntos.
– Em seguida, definir o que é uma função como caso particular de relação.
– Finalmente, apontar exatamente onde eles diferem e dar um exemplo que ilustre a diferença.
– Definir primeiro o que é uma relação entre dois conjuntos.
– Em seguida, definir o que é uma função como caso particular de relação.
– Finalmente, apontar exatamente onde eles diferem e dar um exemplo que ilustre a diferença.
Passo 2
Definimos uma relação
entre dois conjuntos
e
como qualquer subconjunto do produto cartesiano
. Em outras palavras,
e cada elemento de
é um par ordenado
com
e
. Não há restrição sobre quantos pares com o mesmo primeiro componente podem existir, nem é exigido que todos os elementos de
apareçam em algum par de
.
Passo 3
Uma função
é uma relação especial que satisfaz duas condições fundamentais:
- Para todo
existe pelo menos um tal que . - Essa correspondência é única: se
e , então .
Em símbolos,
Passo 4
Comparando diretamente:
– Uma relação pode associar um mesmo a nenhum, a um ou a vários
.
– Uma função exige que cada apareça exatamente numa e somente numa associação
.
Portanto, toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função, pois ela pode violar a existência única de imagem.
– Uma relação pode associar um mesmo
– Uma função exige que cada
Portanto, toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função, pois ela pode violar a existência única de imagem.
Passo 5
Exemplo concreto: seja
e
.
A relação
A relação
é válida como relação, pois é subconjunto de
. Porém, não é função, pois o elemento
está associado a dois valores distintos
e
, violando a unicidade.
Já a função
satisfaz a unicidade e a cobertura de todo
, portanto é uma função de
em
.
Resposta
Uma relação de
em
é qualquer subconjunto de
, sem restrições de cobertura ou unicidade.
Uma função de em
é uma relação que atribui a cada
exatamente um
.
Uma função de