Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
\displaystyle t^{3} x \prime=\cos (t) x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{3} x' = \cos(t)\, x
e pede duas coisas: (1) dizer se essa EDO é linear; (2) determinar a sua ordem. Informação importante disponível: a equação envolve a função desconhecida x, a sua derivada x', a variável independente t, e os coeficientes t^{3} e \cos(t).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida): a ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até x'' (segunda derivada), a ordem é 2; se só aparece x' (primeira derivada), a ordem é 1. Aqui as notações que vamos usar são: x é a função incógnita dependente de t e x' é a sua derivada primeira em relação a t.

Passo 3

Aplicando a definição de ordem à equação dada: o maior número de derivadas que aparece é a primeira derivada x'. Portanto a ordem da equação é
\text{ordem} = 1.

Passo 4

O que significa “linear” para uma EDO de qualquer ordem (aula rápida e prática): uma EDO é linear se a incógnita x e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — ou seja, multiplicadas por funções conhecidas de t ou somadas a essas funções, mas nunca elevados a potências, nem multiplicados entre si, nem dentro de funções não lineares (como \sin(x), e^{x}, x^{2}, etc.). A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é
x' + p(t)\,x = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas de t.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \;x' + \sin(t)\,x = t^2\; é linear (coeficiente \sin(t), termo fonte t^2).
  • \;x' = x^2\; não é linear (porque aparece x^2).
  • \;x'' + t\,x' + \cos(t)\,x = 0\; é linear de segunda ordem.

Passo 5

Voltemos à nossa equação. Podemos tentar colocá-la na forma padrão dividindo por t^{3}. Ao dividir por t^{3} obtém-se (desde que t\neq 0):
x' = \frac{\cos(t)}{t^{3}}\,x.
Reescrevendo na forma x' + p(t)\,x = q(t) temos
x' - \frac{\cos(t)}{t^{3}}\,x = 0,
ou seja p(t) = -\dfrac{\cos(t)}{t^{3}} e q(t)=0. Nesta forma vemos que x aparece apenas multiplicado por uma função de t e não há termos não lineares em x. Assim, no intervalo onde a divisão faz sentido, a equação é linear.

Passo 6

Observação importante sobre t=0 (não pule essa): a divisão por t^{3} exige t\neq 0. Em t=0 a equação original fica
0\cdot x'(0) = \cos(0)\,x(0) \quad\Rightarrow\quad 0 = x(0),
uma relação degenerada que impõe x(0)=0 mas não dá a derivada x'(0). Por isso a forma padrão com coeficiente p(t)=-\dfrac{\cos(t)}{t^{3}} possui uma singularidade em t=0. Conclusão prática: a EDO é linear de primeira ordem em qualquer intervalo que não contenha t=0; no ponto t=0 a equação é degenerada/singular e precisa de tratamento especial.

Passo 7

Resumo final da conclusão didática: a equação tem apenas a primeira derivada, então é de ordem \,1. Colocada na forma padrão para t\neq 0 mostra-se linear porque x aparece apenas multiplicado por uma função conhecida de t e não há termos não lineares em x.

Resposta

É linear e de ordem 1 (válido em intervalos onde t\neq 0).

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