Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) dizer se essa EDO é linear; (2) determinar a sua ordem. Informação importante disponível: a equação envolve a função desconhecida
, a sua derivada
, a variável independente
, e os coeficientes
e
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma EDO (aula rápida): a ordem é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até
(segunda derivada), a ordem é
; se só aparece
(primeira derivada), a ordem é
. Aqui as notações que vamos usar são:
é a função incógnita dependente de
e
é a sua derivada primeira em relação a
.
Passo 3
Aplicando a definição de ordem à equação dada: o maior número de derivadas que aparece é a primeira derivada
. Portanto a ordem da equação é
Passo 4
O que significa “linear” para uma EDO de qualquer ordem (aula rápida e prática): uma EDO é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear — ou seja, multiplicadas por funções conhecidas de
ou somadas a essas funções, mas nunca elevados a potências, nem multiplicados entre si, nem dentro de funções não lineares (como
,
,
, etc.). A forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
.
Exemplos rápidos para fixar:
-
é linear (coeficiente , termo fonte ). -
não é linear (porque aparece ). -
é linear de segunda ordem.
Passo 5
Voltemos à nossa equação. Podemos tentar colocá-la na forma padrão dividindo por
. Ao dividir por
obtém-se (desde que
):
Reescrevendo na forma
temos
ou seja
e
. Nesta forma vemos que
aparece apenas multiplicado por uma função de
e não há termos não lineares em
. Assim, no intervalo onde a divisão faz sentido, a equação é linear.
Passo 6
Observação importante sobre
(não pule essa): a divisão por
exige
. Em
a equação original fica
uma relação degenerada que impõe
mas não dá a derivada
. Por isso a forma padrão com coeficiente
possui uma singularidade em
. Conclusão prática: a EDO é linear de primeira ordem em qualquer intervalo que não contenha
; no ponto
a equação é degenerada/singular e precisa de tratamento especial.
Passo 7
Resumo final da conclusão didática: a equação tem apenas a primeira derivada, então é de ordem
. Colocada na forma padrão para
mostra-se linear porque
aparece apenas multiplicado por uma função conhecida de
e não há termos não lineares em
.
Resposta
É linear e de ordem
(válido em intervalos onde
).