Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:
y \prime \prime-4 y \prime+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \sin (2 t) .
y \prime \prime-4 y \prime+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \sin (2 t) .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a forma geral da solução particular de cada parte da EDO
Informações dadas:
Não vamos resolver coeficientes, apenas encontrar a forma geral (o “ansatz”) de cada solução particular correspondente a cada termo do lado direito.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada para detectar ressonâncias. A equação homogênea é
Montamos a equação característica
Resolvendo, obtemos raiz dupla
Logo a solução geral homogênea é
Comentário rápido: a raiz dupla
gera os dois modos independentes
e
.
Passo 3
Regra prática (método dos coeficientes indeterminados, explicada de forma amigável):
- Para um termo do tipo polinômio de grau
usamos um polinômio de grau com coeficientes a determinar. - Para um termo do tipo
(onde é polinômio) usamos , com mesmo grau que , multiplicado por se houver ressonância. Aqui é a multiplicidade da raiz da equação característica (se não é raiz, então ). - Para um termo do tipo
usamos polinômios do mesmo grau multiplicando e ; novamente multiplicar por se for raiz da característica (com multiplicidade ).
Eu uso essas regras para cada termo do lado direito.
Passo 4
Termo
. É um polinômio de grau
. Como a característica não tem
(verificando
dá
), não há ressonância com polinômios. Então o ansatz para a solução particular correspondente é um polinômio de grau
:
onde
são constantes a determinar (não vamos calcular aqui, só escrevemos a forma).
Passo 5
Termo
. Aqui a parte exponencial tem
. Como a equação característica tem raiz
de multiplicidade
, há ressonância com ordem
. A parte polinomial é de grau
(porque
é grau
). Sem ressonância o trial seria
; por causa da ressonância multiplicamos por
. Portanto o ansatz fica
com constantes
a determinar.
Passo 6
Termo
. Isto é um polinômio de grau
multiplicando
. As raízes correspondentes são
. A equação característica tem raízes
reais, não
, logo não há ressonância com a parte trigonométrica (
). Para um polinômio de grau
multiplicando seno/cosseno, o ansatz padrão é polinômio de grau
vezes
mais polinômio de grau
vezes
. Assim
com constantes
.
Passo 7
Somando as três partes particulares obtemos a forma geral do termo particular para toda a equação. Podemos renomear constantes se quisermos; a forma combinada é:
onde
são constantes arbitrárias que seriam determinadas ao substituir na equação e igualar coeficientes.