Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:

y \prime \prime-4 y \prime+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \sin (2 t) .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a forma geral da solução particular de cada parte da EDO
y''-4y'+4y=2t^{2}+4t e^{2t}+t\sin(2t).
Informações dadas:
\text{Termos não-homogêneos: }2t^{2},\quad 4t e^{2t},\quad t\sin(2t).ãê
Não vamos resolver coeficientes, apenas encontrar a forma geral (o “ansatz”) de cada solução particular correspondente a cada termo do lado direito.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea associada para detectar ressonâncias. A equação homogênea é
y''-4y'+4y=0.
Montamos a equação característica
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo, obtemos raiz dupla
r=2\quad(\text{multiplicidade }2).
Logo a solução geral homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}t)e^{2t}.
Comentário rápido: a raiz dupla r=2 gera os dois modos independentes e^{2t} e t e^{2t}.

Passo 3

Regra prática (método dos coeficientes indeterminados, explicada de forma amigável):
  • Para um termo do tipo polinômio de grau n usamos um polinômio de grau n com coeficientes a determinar.
  • Para um termo do tipo P(t)e^{\alpha t} (onde P é polinômio) usamos \widetilde P(t)e^{\alpha t}, com \widetilde P mesmo grau que P, multiplicado por t^{s} se houver ressonância. Aqui s é a multiplicidade da raiz r=\alpha da equação característica (se r=\alpha não é raiz, então s=0).
  • Para um termo do tipo P(t)\cos(\beta t)+Q(t)\sin(\beta t) usamos polinômios do mesmo grau multiplicando \cos(\beta t) e \sin(\beta t); novamente multiplicar por t^{s} se \pm i\beta for raiz da característica (com multiplicidade s).
    Eu uso essas regras para cada termo do lado direito.

Passo 4

Termo 2t^{2}. É um polinômio de grau 2. Como a característica não tem r=0 (verificando r=0 0^{2}-4\cdot0+4=4\neq0), não há ressonância com polinômios. Então o ansatz para a solução particular correspondente é um polinômio de grau 2:
y_{p1}=A t^{2}+B t+C,
onde A,B,C são constantes a determinar (não vamos calcular aqui, só escrevemos a forma).

Passo 5

Termo 4t e^{2t}. Aqui a parte exponencial tem \alpha=2. Como a equação característica tem raiz r=2 de multiplicidade 2, há ressonância com ordem s=2. A parte polinomial é de grau 1 (porque t é grau 1). Sem ressonância o trial seria (P t+Q)e^{2t}; por causa da ressonância multiplicamos por t^{2}. Portanto o ansatz fica
y_{p2}=t^{2}(D t+E)e^{2t}=(D t^{3}+E t^{2})e^{2t},
com constantes D,E a determinar.

Passo 6

Termo t\sin(2t). Isto é um polinômio de grau 1 multiplicando \sin(2t). As raízes correspondentes são \pm 2i. A equação característica tem raízes 2 reais, não \pm 2i, logo não há ressonância com a parte trigonométrica ( s=0). Para um polinômio de grau 1 multiplicando seno/cosseno, o ansatz padrão é polinômio de grau 1 vezes \cos(2t) mais polinômio de grau 1 vezes \sin(2t). Assim
y_{p3}=(F t+G)\cos(2t)+(H t+I)\sin(2t),
com constantes F,G,H,I.

Passo 7

Somando as três partes particulares obtemos a forma geral do termo particular para toda a equação. Podemos renomear constantes se quisermos; a forma combinada é:
y_{p}=A t^{2}+B t+C+(D t^{3}+E t^{2})e^{2t}+(F t+G)\cos(2t)+(H t+I)\sin(2t),
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I são constantes arbitrárias que seriam determinadas ao substituir na equação e igualar coeficientes.

Resposta

y_{p}=A t^{2}+B t+C+(D t^{3}+E t^{2})e^{2t}+(F t+G)\cos(2t)+(H t+I)\sin(2t)

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