Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
\displaystyle x \prime \prime+\sin (t)=0

Passo 1

Enunciado: a equação diferencial dada é \,x''+\sin(t)=0\,.
Perguntas a responder: (1) essa EDO é linear? (2) qual é a sua ordem?
Informações relevantes: a equação envolve a derivada segunda de x (escrita como \,x'') e a função \sin(t), que depende apenas da variável independente t.

Passo 2

O que significa uma EDO ser linear?
Uma equação diferencial de ordem n é linear quando pode ser escrita na forma
\sum_{k=0}^{n} a_k(t)\,x^{(k)}(t)=g(t),
onde:
  • x^{(k)}(t) é a k-ésima derivada da função incógnita x(t);
  • cada coeficiente a_k(t) depende só da variável independente t (pode ser uma função de t ou uma constante);
  • g(t) é uma função conhecida de t (termo de forçamento);
  • e, muito importante: x e suas derivadas aparecem apenas de forma linear — ou seja, não há produtos entre x e suas derivadas, nem funções não-lineares de x (por exemplo \sin(x), (x')^2, x\cdot x', etc., tornariam a equação não linear).
Exemplos para fixar a ideia:
  • \,x''+t\,x'+\cos(t)\,x=\sin(t)\, é linear (coeficientes dependem de t mas x aparece linearmente).
  • \,x''+\sin(x)=0\, é não linear (porque aparece \sin(x), função não-linear de x).

Passo 3

O que é a ordem da EDO?
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
  • se aparece até x' (derivada primeira) a ordem é 1;
  • se aparece x'' (derivada segunda) e não aparecem derivadas de ordem maior, a ordem é 2;
  • e assim por diante.

Passo 4

Aplique isso à equação dada. Escrevemos a equação explicitamente com a dependência em t:
x''(t)+\sin(t)=0.
Podemos rearranjar para evidenciar a forma linear:
x''(t)+0\cdot x'(t)+0\cdot x(t)=-\sin(t).
Aqui vemos que:
  • os coeficientes das derivadas de x são funções de t (no caso 1 para x'' e 0 para x' e x);
  • o termo -\sin(t) depende somente de t;
  • não aparece nenhuma função de x (como \sin(x) ou x^2) nem produtos envolvendo x ou suas derivadas.
Portanto a equação satisfaz a definição de linearidade: é linear em x.

Passo 5

Determine a ordem.
Na equação aparece a derivada segunda \,x''(t)\, e não aparecem derivadas de ordem superior. Logo a ordem é 2.

Passo 6

Um pequeno extra útil para a prova — reconhecer o tipo: a equação é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea (ou homogênea se você preferir mover o termo para o lado certo): aqui o termo de forçamento é -\sin(t). Se quiser resolver rapidamente na prova, basta integrar duas vezes: da equação \,x''(t)=-\sin(t)\, segue
x'(t)=\cos(t)+C_1,
x(t)=\sin(t)+C_1 t + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração. Isso confirma que tudo fecha e que a forma é bem simples.

Passo 7

Resumo com contraste para fixar:
  • A equação dada é linear porque \sin(t) depende só de t e x aparece apenas linearmente (apenas x'' com coeficiente 1).
  • A ordem é 2 porque a maior derivada presente é a segunda.

Resposta

Linear.
Ordem 2.

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