Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
Passo 1
Enunciado: a equação diferencial dada é
.
Perguntas a responder: (1) essa EDO é linear? (2) qual é a sua ordem?
Informações relevantes: a equação envolve a derivada segunda de (escrita como
) e a função
, que depende apenas da variável independente
.
Perguntas a responder: (1) essa EDO é linear? (2) qual é a sua ordem?
Informações relevantes: a equação envolve a derivada segunda de
Passo 2
O que significa uma EDO ser linear?
Uma equação diferencial de ordem é linear quando pode ser escrita na forma
Uma equação diferencial de ordem
onde:
-
é a -ésima derivada da função incógnita ; - cada coeficiente
depende só da variável independente (pode ser uma função de ou uma constante); -
é uma função conhecida de (termo de forçamento); - e, muito importante:
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear — ou seja, não há produtos entre e suas derivadas, nem funções não-lineares de (por exemplo , , , etc., tornariam a equação não linear).
Exemplos para fixar a ideia:
-
é linear (coeficientes dependem de mas aparece linearmente). -
é não linear (porque aparece , função não-linear de ).
Passo 3
O que é a ordem da EDO?
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
A ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada que aparece na equação. Por exemplo:
- se aparece até
(derivada primeira) a ordem é ; - se aparece
(derivada segunda) e não aparecem derivadas de ordem maior, a ordem é ; - e assim por diante.
Passo 4
Aplique isso à equação dada. Escrevemos a equação explicitamente com a dependência em
:
Podemos rearranjar para evidenciar a forma linear:
Aqui vemos que:
- os coeficientes das derivadas de
são funções de (no caso para e para e ); - o termo
depende somente de ; - não aparece nenhuma função de
(como ou ) nem produtos envolvendo ou suas derivadas.
Portanto a equação satisfaz a definição de linearidade: é linear em
.
Passo 5
Determine a ordem.
Na equação aparece a derivada segunda e não aparecem derivadas de ordem superior. Logo a ordem é
.
Na equação aparece a derivada segunda
Passo 6
Um pequeno extra útil para a prova — reconhecer o tipo: a equação é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea (ou homogênea se você preferir mover o termo para o lado certo): aqui o termo de forçamento é
. Se quiser resolver rapidamente na prova, basta integrar duas vezes: da equação
segue
onde
e
são constantes de integração. Isso confirma que tudo fecha e que a forma é bem simples.
Passo 7
Resumo com contraste para fixar:
- A equação dada é linear porque
depende só de e aparece apenas linearmente (apenas com coeficiente ). - A ordem é
porque a maior derivada presente é a segunda.
Resposta
Linear.
Ordem .
Ordem