Diga em que eixo coordenado estão os focos da elipse e calcule a medida do eixo maior, a do eixo menor e a distância focal, nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente identificar em qual eixo coordenado estão os focos de uma elipse e calcular a medida do eixo maior, do eixo menor e a distância focal. A equação da elipse que temos é
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, como a forma padrão da equação e as relações entre os eixos e os focos.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse é
, onde
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Para isso, vamos dividir toda a equação original por 169:
Simplificando:
Agora a equação está na forma padrão.
Passo 3
Identificamos agora os valores de
e
:
Então, tomando a raiz quadrada:
Isso significa que o semi-eixo maior mede 13 unidades e o semi-eixo menor mede 2 unidades.
Passo 4
Para determinar em qual eixo estão os focos, comparamos os valores de
e
. Aqui,
é maior que
, o que indica que o eixo maior está no eixo
(horizontal). Portanto, os focos estarão ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância focal
, que é a distância de cada foco até o centro da elipse. A relação entre
,
e
é dada por:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 6
Com a distância focal
, sabemos que os focos estão localizados a essa distância do centro ao longo do eixo
. Portanto, as coordenadas dos focos são aproximadamente
e
.
Resposta
- Eixos coordenados dos focos: eixo
(horizontal) - Medida do eixo maior: 26 unidades
- Medida do eixo menor: 4 unidades
- Distância focal: aproximadamente 12.85 unidades