Diga em que eixo coordenado estão os focos da elipse e calcule a medida do eixo maior, a do eixo menor e a distância focal, nos casos:
x^2+1694 y^2=169

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente identificar em qual eixo coordenado estão os focos de uma elipse e calcular a medida do eixo maior, do eixo menor e a distância focal. A equação da elipse que temos é x^2+1694 y^2=169. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, como a forma padrão da equação e as relações entre os eixos e os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da elipse na forma padrão. A forma padrão da equação de uma elipse é x^2a^2 + y^2b^2 = 1, onde a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Para isso, vamos dividir toda a equação original por 169:
x^2169 + 1694 y^2169 = 169169
Simplificando:
x^2169 + y^24 = 1
Agora a equação está na forma padrão.

Passo 3

Identificamos agora os valores de a^2 e b^2:
a^2 = 169 e b^2 = 4
Então, tomando a raiz quadrada:
a = raiz169 = 13 e b = raiz4 = 2
Isso significa que o semi-eixo maior mede 13 unidades e o semi-eixo menor mede 2 unidades.

Passo 4

Para determinar em qual eixo estão os focos, comparamos os valores de a e b. Aqui, a = 13 é maior que b = 2, o que indica que o eixo maior está no eixo x (horizontal). Portanto, os focos estarão ao longo do eixo x.

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância focal c, que é a distância de cada foco até o centro da elipse. A relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 169 - 4 = 165
Então,
c = raiz165 = raiz25 times 6.6 approx 12.85

Passo 6

Com a distância focal c approx 12.85, sabemos que os focos estão localizados a essa distância do centro ao longo do eixo x. Portanto, as coordenadas dos focos são aproximadamente (12.85, 0) e (-12.85, 0).

Resposta

  • Eixos coordenados dos focos: eixo x (horizontal)
  • Medida do eixo maior: 26 unidades
  • Medida do eixo menor: 4 unidades
  • Distância focal: aproximadamente 12.85 unidades

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