Calcule pela definição a derivada da função:
f(t)=t+1t+4

Passo 1

O exercício pede a derivada de f(t)=t+1t+4 usando a definição de derivada. A gente vai precisar usar
f'(t)=limhto0f(t+h)-f(t)h
e fazer umas manipulações algébricas para simplificar essa expressão.

Passo 2

Substituindo f(t+h) e f(t) no quociente, a gente tem:
f(t+h)-f(t)h=t+h+1t+h+4-t+1t+4h

Passo 3

Pra somar as frações no numerador, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (t+h+4)(t+4):
t+h+1t+h+4-t+1t+4=(t+h+1)(t+4)-(t+1)(t+h+4)(t+h+4)(t+4)

Passo 4

Agora é só expandir e simplificar o que está no numerador:
(t+h+1)(t+4)=t^2+5t+ht+4h+4, (t+1)(t+h+4)=t^2+5t+th+h+4
Subtraindo as duas expressões, todos os termos cancelam, sobrando 3h.

Passo 5

Isso torna o quociente:
f(t+h)-f(t)h=3h(t+h+4)(t+4)cdot1h=3(t+h+4)(t+4)

Passo 6

Por fim, basta tomar o limite quando hto0:
f'(t)=limhto03(t+h+4)(t+4)=3(t+4)^2

Resposta

f’(t)=\frac{3}{(t+4)^2}

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