Diga se a função a seguir é par ou ímpar, ou nenhum dos dois, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
g(x)=1-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função
g(x)=1-x^{4}
é par, ímpar ou nenhum dos dois. As informações que temos são:
  • A expressão analítica da função é g(x)=1-x^{4}.
  • A variável x representa um número real qualquer (domínio implícito: todos os \,x\in\mathbb{R}\,, pois é um polinômio).
    O que se pede: determinar a natureza (par/ímpar/nenhum) e justificar por cálculos e/ou argumentos.

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Uma função f é par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x).
Isto significa que o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y (mesma altura para x e para -x).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x).
Isto significa simetria em relação à origem (o valor em -x é o negativo do valor em x).
Observação: para decidir, é suficiente calcular g(-x) e comparar com g(x) e com -g(x).

Passo 3

Calcular g(-x). Substituímos -x no lugar de x na expressão de g:
g(-x)=1-(-x)^{4}.
Agora usamos a propriedade de potências: para qualquer número real x e qualquer inteiro par n, (-x)^{n}=x^{n}. Em particular, como 4 é par,
(-x)^{4}=x^{4}.
Logo,
g(-x)=1-x^{4}.

Passo 4

Comparar g(-x) com g(x) e com -g(x).
  • Temos g(x)=1-x^{4}.
  • Do Passo 3, g(-x)=1-x^{4}.
    Portanto, para todo x vale
g(-x)=g(x).
Isto satisfaz exatamente a condição de função par, então g é uma função par.
Para reforçar (e excluir a possibilidade de ser ímpar), calculemos -g(x):
-g(x)=-(1-x^{4})=-1+x^{4}.
Comparando com g(-x)=1-x^{4}, vemos que
g(-x)\ne -g(x)
para a maioria dos x (a igualdade ocorreria apenas em pontos isolados se acaso, mas a definição exige igualdade para todo x). Logo g não é ímpar.

Passo 5

Intuição e regra prática rápida (útil pra prova): polinômios que contêm apenas potências pares de x (mais possivelmente termos constantes) são funções pares. Aqui g(x) é a soma de uma constante 1 (que é par) e de -x^{4} (termo com potência par), então a função é par. Exemplos rápidos para fixar:
  • x^{4} é par porque (-x)^{4}=x^{4}.
  • x^{3} é ímpar porque (-x)^{3}=-x^{3}.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: fizemos a verificação direta, usando apenas a substituição x\mapsto -x e a propriedade de potências pares. Você já pode usar esse procedimento em outras funções do tipo polinomial — funciona rápido na prova. Vai dar certo!

Resposta

par

Exercícios relacionados