Diga se a função a seguir é par ou ímpar, ou nenhum dos dois, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é par, ímpar ou nenhum dos dois. As informações que temos são:
- A expressão analítica da função é
. - A variável
representa um número real qualquer (domínio implícito: todos os , pois é um polinômio).
O que se pede: determinar a natureza (par/ímpar/nenhum) e justificar por cálculos e/ou argumentos.
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, vale
Isto significa que o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
(mesma altura para
e para
).
- Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, vale
Isto significa simetria em relação à origem (o valor em
é o negativo do valor em
).
Observação: para decidir, é suficiente calcular e comparar com
e com
.
Observação: para decidir, é suficiente calcular
Passo 3
Calcular
. Substituímos
no lugar de
na expressão de
:
Agora usamos a propriedade de potências: para qualquer número real
e qualquer inteiro par
,
. Em particular, como
é par,
Logo,
Passo 4
Comparar
com
e com
.
- Temos
. - Do Passo 3,
.
Portanto, para todovale
Isto satisfaz exatamente a condição de função par, então
é uma função par.
Para reforçar (e excluir a possibilidade de ser ímpar), calculemos
:
Comparando com
, vemos que
para a maioria dos
(a igualdade ocorreria apenas em pontos isolados se acaso, mas a definição exige igualdade para todo
). Logo
não é ímpar.
Passo 5
Intuição e regra prática rápida (útil pra prova): polinômios que contêm apenas potências pares de
(mais possivelmente termos constantes) são funções pares. Aqui
é a soma de uma constante
(que é par) e de
(termo com potência par), então a função é par. Exemplos rápidos para fixar:
-
é par porque . -
é ímpar porque .
Passo 6
Resumo curto e incentivo: fizemos a verificação direta, usando apenas a substituição
e a propriedade de potências pares. Você já pode usar esse procedimento em outras funções do tipo polinomial — funciona rápido na prova. Vai dar certo!
Resposta
par