Diga se a função a seguir é par ou ímpar, ou nenhum dos dois, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f(x)=1-3 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função f é par, ímpar ou nenhuma das duas, justificando por cálculos e/ou argumentos. A função dada é
f(x)=1-3 x^{2}-x^{4}.
Informações relevantes: é um polinômio com termos de potências x^{0}, x^{2} e x^{4}.

Passo 2

Definições (essenciais para a prova, memorização rápida):
  • Uma função f é dita par se vale
f(-x)=f(x)\quad\text{para todo }x.
  • Uma função f é dita ímpar se vale
f(-x)=-f(x)\quad\text{para todo }x.
Se nenhuma dessas igualdades for verdadeira para todo x, a função é “nenhuma das duas”. Essas são as condições que vamos testar.

Passo 3

Calcular f(-x) por substituição direta:
f(-x)=1-3(-x)^{2}-(-x)^{4}.
Agora usar propriedades básicas de potências: para qualquer x temos (-x)^{2}=x^{2} e (-x)^{4}=x^{4}. Substituindo:
f(-x)=1-3x^{2}-x^{4}.

Passo 4

Comparação com f(x). A função original é f(x)=1-3x^{2}-x^{4}. A expressão obtida para f(-x) é exatamente a mesma:
f(-x)=1-3x^{2}-x^{4}=f(x)\quad\text{para todo }x.
Portanto a igualdade que caracteriza a paridade está satisfeita.

Passo 5

Comentário didático e regra prática (como fazer rápido na prova):
  • Monômios x^{n} têm paridade baseada no expoente n: se n é par, x^{n} é função par; se n é ímpar, x^{n} é função ímpar.
  • Soma/combinação linear: soma de funções pares é par; soma de funções ímpares é ímpar; mistura de termos pares e ímpares normalmente dá função que não é nem par nem ímpar.
    Neste problema todos os termos não-constantes têm expoentes 2 e 4 (pares), e a constante 1 também é função par (pois 1=1). Logo a verificação algébrica acima era esperada.

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo):
Escolher x=2. Calcula-se
f(2)=1-3\cdot 2^{2}-2^{4}=1-3\cdot4-16=1-12-16=-27,
f(-2)=1-3\cdot(-2)^{2}-(-2)^{4}=1-3\cdot4-16= -27.
Os valores coincidem, compatível com a igualdade geral já mostrada.

Resposta

A função é par.

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