Diga se a função a seguir é par ou ímpar, ou nenhum dos dois, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas, justificando por cálculos e/ou argumentos. A função dada é
Informações relevantes: é um polinômio com termos de potências
,
e
.
Passo 2
Definições (essenciais para a prova, memorização rápida):
- Uma função
é dita par se vale
- Uma função
é dita ímpar se vale
Se nenhuma dessas igualdades for verdadeira para todo
, a função é “nenhuma das duas”. Essas são as condições que vamos testar.
Passo 3
Calcular
por substituição direta:
Agora usar propriedades básicas de potências: para qualquer
temos
e
. Substituindo:
Passo 4
Comparação com
. A função original é
. A expressão obtida para
é exatamente a mesma:
Portanto a igualdade que caracteriza a paridade está satisfeita.
Passo 5
Comentário didático e regra prática (como fazer rápido na prova):
- Monômios
têm paridade baseada no expoente : se é par, é função par; se é ímpar, é função ímpar. - Soma/combinação linear: soma de funções pares é par; soma de funções ímpares é ímpar; mistura de termos pares e ímpares normalmente dá função que não é nem par nem ímpar.
Neste problema todos os termos não-constantes têm expoentese (pares), e a constante também é função par (pois ). Logo a verificação algébrica acima era esperada.
Passo 6
Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo):
Escolher . Calcula-se
Escolher
Os valores coincidem, compatível com a igualdade geral já mostrada.
Resposta
A função é par.