Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{4}.
Pede-se:
  • decidir se f é injetiva (isto é, se entradas diferentes dão saídas diferentes);
  • decidir se f é sobrejetiva (isto é, se para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y).
    As informações relevantes são apenas a fórmula f(x)=x^{4} e o domínio/contradomínio \mathbb{R}.

Passo 2

Definição de injetividade (aulas rápidas): a função f é injetiva se, e somente se,
\text{se }f(a)=f(b)\text{ então }a=b,ã
para todo a,b\in\mathbb{R}. Estratégia prática para checar injetividade: tentar encontrar dois pontos distintos a\neq b com f(a)=f(b) (um contraexemplo mostra que não é injetiva); ou provar que a igualdade f(a)=f(b) implica necessariamente a=b.

Passo 3

Observação simples (contraexemplo direto): calcule f(1) e f(-1).
f(1)=1^{4}=1,\qquad f(-1)=(-1)^{4}=1.
Temos f(1)=f(-1) mas 1\neq -1. Portanto existem entradas distintas com mesma imagem, logo f não é injetiva.

Passo 4

Prova alternativa e explicativa (mais geral): se f(a)=f(b) então
a^{4}=b^{4}.
Isso implica (a^{2})^{2}=(b^{2})^{2}, portanto a^{2}=b^{2} (porque para números reais, u^{2}=v^{2}\Rightarrow u=\pm v). Assim
a^{2}=b^{2}\quad\Rightarrow\quad a=\pm b.
Daí, igualdade de imagens permite a=b ou a=-b. Como a possibilidade a=-b com a\neq b é real (por exemplo a=1,b=-1), não se obtém a=b sempre. Conclusão: f não é injetiva. (Comentário útil para prova: f é uma função par, f(-x)=f(x), e qualquer função par não pode ser injetiva em todo \mathbb{R} se houver x\neq0.)

Passo 5

Definição de sobrejetividade (aulas rápidas): f é sobrejetiva se, e somente se, para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Estratégia prática: encontrar um y no contradomínio que não seja imagem de nenhum x (um contraexemplo mostra que não é sobrejetiva); ou demonstrar que todo y tem um pré-imagem.

Passo 6

Análise do sinal das imagens: para qualquer x\in\mathbb{R} tem-se x^{4}\ge 0. Logo todos os valores de f são não-negativos. Em símbolos,
\text{Im}(f)=\{x^{4}\mid x\in\mathbb{R}\}\subseteq[0,\infty).
Portanto, qualquer y<0 (por exemplo y=-1) não tem solução da equação x^{4}=y. Isso mostra que não existe pré-imagem para esses y, logo f não é sobrejetiva como função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 7

Caracterização precisa da imagem (útil para prova): para y\ge 0 existe solução real de x^{4}=y, pois pode-se tomar a raiz quarta real não-negativa
x=\sqrt[4]{y}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt[4]{y},
e então f(x)=\bigl(\pm\sqrt[4]{y}\bigr)^{4}=y. Para y<0 não existe x\in\mathbb{R} com x^{4}=y. Logo a imagem exata é
\text{Im}(f)=[0,\infty).
Portanto f é sobrejetiva apenas se o contradomínio for escolhido como [0,\infty); com contradomínio \mathbb{R} (como no enunciado) não é sobrejetiva.

Passo 8

Comentário final de dica para prova (curto e prático): mostrar que a função é par e dar um contraexemplo (por ex. 1 e -1) resolve a injetividade rapidamente; para sobrejetividade basta notar que f(x)\ge 0 sempre, então números negativos no contradomínio não são atingidos.

Resposta

Injetiva: Não.
Sobrejetiva: Não ( \mathrm{Im}(f)=[0,\infty)).

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