Questão 25 Diga se a função a seguir é injetiva, se é sobrejetiva, justifique a partir de cálculos e/ou argumentos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- decidir se
é injetiva (isto é, se entradas diferentes dão saídas diferentes); - decidir se
é sobrejetiva (isto é, se para todo existe tal que ).
As informações relevantes são apenas a fórmulae o domínio/contradomínio .
Passo 2
Definição de injetividade (aulas rápidas): a função
é injetiva se, e somente se,
para todo
. Estratégia prática para checar injetividade: tentar encontrar dois pontos distintos
com
(um contraexemplo mostra que não é injetiva); ou provar que a igualdade
implica necessariamente
.
Passo 3
Observação simples (contraexemplo direto): calcule
e
.
Temos
mas
. Portanto existem entradas distintas com mesma imagem, logo
não é injetiva.
Passo 4
Prova alternativa e explicativa (mais geral): se
então
Isso implica
, portanto
(porque para números reais,
). Assim
Daí, igualdade de imagens permite
ou
. Como a possibilidade
com
é real (por exemplo
), não se obtém
sempre. Conclusão:
não é injetiva. (Comentário útil para prova:
é uma função par,
, e qualquer função par não pode ser injetiva em todo
se houver
.)
Passo 5
Definição de sobrejetividade (aulas rápidas):
é sobrejetiva se, e somente se, para todo
existe
tal que
. Estratégia prática: encontrar um
no contradomínio que não seja imagem de nenhum
(um contraexemplo mostra que não é sobrejetiva); ou demonstrar que todo
tem um pré-imagem.
Passo 6
Análise do sinal das imagens: para qualquer
tem-se
. Logo todos os valores de
são não-negativos. Em símbolos,
Portanto, qualquer
(por exemplo
) não tem solução da equação
. Isso mostra que não existe pré-imagem para esses
, logo
não é sobrejetiva como função
.
Passo 7
Caracterização precisa da imagem (útil para prova): para
existe solução real de
, pois pode-se tomar a raiz quarta real não-negativa
e então
. Para
não existe
com
. Logo a imagem exata é
Portanto
é sobrejetiva apenas se o contradomínio for escolhido como
; com contradomínio
(como no enunciado) não é sobrejetiva.
Passo 8
Comentário final de dica para prova (curto e prático): mostrar que a função é par e dar um contraexemplo (por ex.
e
) resolve a injetividade rapidamente; para sobrejetividade basta notar que
sempre, então números negativos no contradomínio não são atingidos.
Resposta
Injetiva: Não.
Sobrejetiva: Não ( ).
Sobrejetiva: Não (